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1、实验一多元函数的微分实验的目的1、通过实验了解掌握多元函数的偏导数与全微分的理论；2、学习掌握利用Matlab求多元函数的偏导数与全微分的方法。实验的基本理论与方法1、偏导数的概念及其求法（略）。2、全微分：如果函数的偏导数与在点(x,y)连续，则函数在该点可微，并且3-1）3、多元复合函数的求导法则如果函数及都在点t可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点t可导，且其导数可用下列公式计算3-2)4、隐函数求导公式设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一领域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0，Fy(x0,y0)≠0，则方程F(x,y)=0在点(x0,
2、y0)的某一领域内恒有能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0)，并有3-3)同理，函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一领域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=0，Fz(x0,y0,z0)≠0，则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一领域内恒有能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0)，并有3-4)5、多元函数的Jacobi矩阵假设有n个自变量的m个函数定义为3-5)则相应对求偏导，则得矩阵3-6)该矩阵又称为Jacobi矩阵。6、方向导数
3、的求法设函数在点P(x,y)连续可微，那么函数在该点沿任意方向的方向导数存在，且3-7)7、设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则称向量为函数在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)。实验使用的函数与命令1、符号求导指令diff多元函数的偏导数与全微分可以通过Matlab中的diff()指令直接求解，现以二元函数为例，现要求出，则可以用下面的函数求出f=diff(diff(f,x,m),y,n)或f=diff(diff(f,y,n),x,m)实际上，当m,n取不同值时，该指令可以完成以下功能：表3.1diff部分功能表指令功能指令功能diff(,x)与dif
4、f(,y)与diff(,x,m)与diff(,y,n)与求隐函数偏导数与diff(diff(),x,y)与diff(diff(),y,x)与指令功能diff(,x)*dx+diff(,y)*dy求全微分collect(simple(,x)整理表达式2、多元函数的Jacobi矩阵Jacobi矩阵可以由Matlab的符号工具箱中jacobian()函数直接求得。该函数的调用格式为，其中x为自变量构成的向量，y为各个函数构成的向量。3、符号转换指令syms。实验指导例1已知二元函数1）求一阶偏导数与和全微分；2）求高阶偏导数，与；3)求f在x=，y=处的一阶导数、全微分和高阶
5、偏导数，，。解：1）利用表3-1中的命令，不难得到Matlab的M文件程序，从而得到一阶偏导数、高阶偏导数，与：symsxydxdyfdff=sin(x*y)+(cos(x^3+y^2))^2;fx=diff(f,x)%求fxfy=diff(f,y)%求fydf=fx*dx+fy*dy%求全微分f2x2=diff(fx,x)%求f’’xxf2xy=diff(fx,y)%求f’’xyf3xyx=diff(f2xy,x)%求f’’’xyx运行程序，输出结果：fx=cos(x*y)*y-6*cos(x^3+y^2)*sin(x^3+y^2)*x^2fy=cos(x*y)*x-
6、4*cos(x^3+y^2)*sin(x^3+y^2)*ydf=(cos(x*y)*y-6*cos(x^3+y^2)*sin(x^3+y^2)*x^2)*dx+(cos(x*y)*x-4*cos(x^3+y^2)*sin(x^3+y^2)*y)*dyf2x2=-sin(x*y)*y^2+18*sin(x^3+y^2)^2*x^4-18*cos(x^3+y^2)^2*x^4-12*cos(x^3+y^2)*sin(x^3+y^2)*xf2xy=-sin(x*y)*x*y+cos(x*y)+12*sin(x^3+y^2)^2*y*x^2-12*cos(x^3+y^2)^2*
7、y*x^2f3xyx=-cos(x*y)*y^2*x-2*sin(x*y)*y+144*sin(x^3+y^2)*y*x^4*cos(x^3+y^2)+24*sin(x^3+y^2)^2*y*x-24*cos(x^3+y^2)^2*y*x对于表达式的结果比较冗长，读者可以自己输入collect和simple命令对表达式进行整理。如输入命令：collect(simple(f2x2),cos(x*y))，collect(simple(f2xy),cos(x*y))，collect(simple(f3xyx),cos(x*y))或collect
