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1、1第七章多元函数微分学7.1空间解析几何的基本知识7.2二元函数的概念7.3二元函数的极限与连续7.4二元函数的偏导数与全微分7.5二元复合函数的求导法则7.6二元函数的极值7.7最小二乘法2横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系,三条坐标轴的点O叫做坐标原点正方向符合右手规则：即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向.1.空间直角坐标系坐标系7.1空间解析几何的基本知识3ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间直角坐标系共有八个卦限Ⅶ4过此点向三条坐标轴分别作设空间中任意点垂直的平面，交于坐标轴上的点分别记为设在各自所在坐标轴上的坐标分别为横坐标纵坐标竖坐标
2、空间的点有序数组5特殊点的表示:坐标轴上的点：坐标面上的点：注意：坐标面和坐标轴上的点的特征6为空间两点.在直角三角形和中,用勾股定理2.空间两点间点的距离7若两点分别为特殊地空间两点间距离公式空间两点间距离公式与平面直角坐标系中两点间是平面两点间距离公式距离公式有类似的表达形式，的推广.8解设P点坐标为所求点为例的距离为到的距离的两倍,求点P的坐标.9解设满足条件的点为易得例求到两定点的点的轨迹方程.距离相等此即为所求点的轨迹方程.平面方程三元一次方程10平面的一般方程任意一个形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平面的截距式方程11解所求方程为例是所求轨迹上任一点,1
3、2曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.曲面方程的定义(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;如果曲面S有下述关系:那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.与三元方程3.曲面与方程0),,(=zyxF13定义平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的动直线L称为柱面的准线,母线.所形成的曲面称为移动的直线L柱面.准线母线4.几种特殊的曲面1）柱面14例讨论方程的图形.在xOy面上,解现在空间直角坐标系中讨论问题.表一个圆C.过作平行z轴的直线L,设点在圆C上,对L上任意点的坐标也满足方程沿曲线C,平行于z轴的一切直线所形成
4、的曲面上的点的坐标都满足此方程,在空间,就是圆柱面方程.此曲面称为圆柱面.)0,,(1yxM,222Ryx=+该方程的图形是以xOy面上圆为准线,母线平行于z轴的柱面.L截痕法:用平行于xOy的平面去截此平面，截痕为圆！15例讨论方程的图形.在xOy面上,解表一个圆C.在空间,就是圆柱面方程.该方程的图形是以xOy面上圆为准线,母线平行于z轴的柱面.L截痕法:用平行于xOy的平面去截此平面，截痕为圆！16截痕法去截一个曲面，用平面这个平面叫截平面，所得曲线叫截曲线.即坐标面，截痕只有一个点.截痕法是研究空间曲面的一种常用方法.从几何背景上看，截痕为该平面上的一条曲线，分析不同截平面
5、所得的截曲线可知曲面的性状.例用截痕法研究曲面截平面为截曲线为大圆；截平面为截曲线为圆截平面为17其大小随平面位置的变化而变化.与各坐标面平行的截平面椭圆.所得的截痕均为2）二次曲面椭球面18单叶双曲面特点是:平方项有一个取负号,另两个取正号.椭圆双曲线19或特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.它分成上、下两个曲面.注双叶双曲面椭圆抛物线双曲线20zxyoxyzo椭圆抛物面椭圆抛物线21截痕双曲抛物面（马鞍面）xyzo双曲线抛物线221.二元函数的概念例理想气体的状态方程是称p为两个变量T,V的函数,其中如温度T、体积V都在变化,则压强p依赖(R为常数)其中p为压强,V为体积
6、,T为温度.于T,V的关系是7.2二元函数的概念23的每一对值，自变量x,y所有取值的集合称为该函数的则称z是x,y的定义7.1若变量z与变量x,y之间有一个依赖关系,如果对x,y对应,记为称x,y为因变量z对应取值的集合称为该函数的二元函数.称z为自变量,因变量,定义域,值域.都有唯一一个z值与之f为对应关系24邻域设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.P0令有时简记为称之为将邻域去掉中心,注称之为去心邻域.二元函数的定义域：25曲线称为边界线，区域不包含边界线的区域称为开区域.整个xOy平面或xOy平面上一条或几条曲线围成的一部分平面，称为一个平面区域，
7、围成这个区域的包含边界线的区域称为闭区域，OxyOxy有界开区域有界闭区域26例把下面图中的阴影所示的区域表示出来.oR-Ryx有界闭区域无界开区域27例求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域即定义域为28解Oxy定义域是有界半开半闭区域292.二元函数的表示法：通常为曲面图像法、表格法、解析式法二元函数的图像30例用数学软件Mathematica作出的二元函数和的图像.31设二元函数的常数A，7.3二元函数的极限与连续定义1在点的空心邻域内有定义，如果点以任何方式趋于
