多元函数微分学(III)

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1、第6章多元函数微分学重点：求偏微商难点：多元复合函数微分法多元函数极值6.1空间解析几何6.1.1空间直角坐标系点与坐标两点间的距离公式间的距离公式：间的距离公式：平面方程解由于

2、M1M

3、=

4、M2M

5、，所以化简得点M的轨迹方程为2x+4y2z3=0.从立体几何中知,所求轨迹应为线段M1M2的中垂面,此平面的方程为一个三元一次方程.实际上,平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=06.1.2曲面柱面曲面方程F(x,y,z)=0中x,y,z有一个字母不出现时,表示柱面.方程f(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面.在母线平行于坐标轴的柱面方程中,相应坐标的变量不出现.类似地，方程f(x,z)

6、=0和f(y,z)=0分别表示母线平行于y轴与x轴的柱面.二次曲面-椭球面所用截平面截痕//xOy面椭圆//yOz面椭圆//zOx面椭圆二次曲面-单叶双曲面所用截平面截痕//xOy面椭圆//yOz面双曲线//zOx面双曲线二次曲面-双叶双曲面所用截平面截痕//xOy面椭圆//yOz面双曲线//zOx面双曲线二次曲面-椭圆抛物面所用截平面截痕//xOy面椭圆//yOz面抛物线//zOx面抛物线二次曲面-双曲抛物面所用截平面截痕//xOy面椭圆//yOz面抛物线//zOx面抛物线练习下列方程在空间直角坐标系中表示什么图形？⑴x=0；⑶2x2+y2=5；⑸y=x2；⑺2x2y2+3z2=5；⑼

7、2x2y2+3z2=5；⑾2x2+y23z=5；⑵y=2x+1；⑷x2y2=1；⑹x2+2y2+3z2=4；⑻2x2y2+3z2=5；⑽2x2y2+3z=5；⑿x2+y2=3z2.6.1.3空间曲线思考题联立两个方程是否一定表示曲线？投影曲线练习求曲线在xOy面上的投影柱面及投影曲线.6.1.4向量向量的坐标向量的线性运算向量的线性运算是指向量的加法和向量与数的乘法运算.向量的加法向量与数的乘法向量的减法向量线性运算的几何意义三角形法则平行四边形法则向量的线性运算规律⑴加法交换律a+b=b+a⑵加法结合律a+(b+c)=(a+b)+c⑶数乘分配律⑷数乘结合律a=(x,y,z

8、),a=xi+yj+zk有向量的数量积向量的数量积运算规律⑴交换律a·b=b·a⑵分配律(a+b)·c=a·c+b·c⑶数乘结合律⑷正定律a·a=

9、a

10、2≥0,且a·a=0当且仅当a=0两个向量垂直的充要条件必要性假设a与b垂直,由勾股定理,因此a·b=0向量的夹角因为

11、a

12、=

13、b

14、=所以,向量a与b的夹角=向量的向量积向量的向量积运算规律⑴反交换律a×b=b×a⑵分配律(a+b)×c=a×c+b×c⑶数乘结合律⑷单位坐标向量向量积的坐标也可以写成或者用三阶行列式形式地表示为三角形的面积所以,平面的点法式方程直线方程两张不平行的平面的交线就是直线,因此直线的一般方程为：直线参数方程=t

15、s,按坐标表示就是(xx0,yy0,zz0)=t(l,m,n)即得到直线的点向式方程(或称为对称式方程)：和直线的参数方程：练习⑴求过点A(1,2,3)且垂直于平面2x+z=3的直线方程.⑵求过点A(1,2,3)且平行于直线的直线方程.⑶求直线与平面2x+y+z8=0的交点.6.2多元函数6.2.1多元函数概念生产函数(P318)6.2.2等高线·等产量线(P319)6.2.3二元函数的极限与连续多元函数的连续定义如果定义域是闭区域,即包含边界,则在边界点处的极限与连续性,只限于考虑那些既在该点的邻域内又在定义域内的点.多元函数的连续性6.3偏微商6.3.1偏微商与全微分分别记为f

16、x(x0,y0),zx(x0,y0),fy(x0,y0),zy(x0,y0),按定义求偏微商偏微商函数练习求z=x2+2xy+3y2的偏微商.全微分二元函数z=f(x,y)在(x,y)处的全微分:例求z=cos2x+3siny的偏微商与全微分.解=2sin2xdx+3cosydy全微分的本质例求z=acosx+bsiny的全微分.解dz=d(acosx+bsiny)=cosxda+ad(cosx)+sinydb+bd(siny)=cosxdaasinxdx+sinydb+bcosydy如果a,b为常量,则da=0,db=0,dz=asinxdx+bcosydy多元函数连续、偏微商、全

17、微分等之间的关系f(x,0)=0,f(0,y)=06.3.3高阶偏微商高阶混合偏微商称为二阶混合偏微商.一般情况下,求高阶混合偏微商与求偏微商次序无关,即将二阶混合偏微商视为一个：练习求z=3x2y2xy2+5x2y3的二阶偏微商.6.4多元复合函数微分法6.4.1多元复合函数微分法设z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),则这是本节最重要、最好记忆的公式,也是应用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话,你