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时间：2018-12-25
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1、第四部分多元函数的微分一、限与连续例1求下列函数的极限（1）；（2）例2证明函数分别关于连续，但它不是二元连续函数。例3证明：若函数在区域G内关于变元连续，关于变元等度连续，则此函数在G内连续。例4（尤格定理）设函数分别关于连续，且对其中一个变元单调，则此函数二元连续。二．导数与微分例5设证明例6若为可微的次齐次函数，证明为次齐次函数。证明若8若则不需证明。此时，的0次齐次性可以是为非齐次的。例7证明：函数时，满足LAPLACE方程证明例8证明：若函数满足LAPLACE方程则函数也满足此方程。证明令注意同理8=0例9证
2、明：在三维空间的点处函数（其中，为常数且）二者的梯度夹角当趋向无穷远时趋于零。证明其中夹角的余弦为故的夹角当M趋向无穷远时趋向于零。例10设实值函数在上有定义。方程有唯一的连续解8的充分必要条件是什么？例11设两次连续可微函数为三个相互垂直的单位向量。证明：（1）（2）证明（1）；（2）8例12引入新的自变量解方程解故即8例9例用线性变换将方程变为下列形状（其中，A，B，C为常数，且）并求其解。解欲使原方程转化成，必须且只须即，，此时。8练习八（1）设为两次可微函数。证明（其中），并求。（2）证明：若函数满足热传导方程
3、则函数也满足该方程。（3）设，求（4）设为两次可微函数。若为向量的方向余弦，求（5）设为可微函数且当时有求时。（6）设。变换方程（7）若为函数在单位球内的极值点，证明对某有，其中，为对称矩阵。（8）设为连续函数,为常数。证明8，其中。8
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