多元函数的全微分

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1、1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;函数在一点偏导数存在函数在此点连续2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义3.求高阶偏导数的方法逐次求导法混合偏导数连续与求导顺序无关*二、全微分在近似计算中的应用第三节一元函数y=f(x)的微分本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义定义:设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x,y)的可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在区域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，全增量则称此函数

2、在D内可微.定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点的偏导数必存在,且有注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:定理2(充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微分.关于x的偏微分关于y的偏微分例:函数易知若函数在(0,0)可微，则因此,函数在点(0,0)不可微.即即但偏导数连续上面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微设函数z=f(x,y)在点(x,y)可微函数连续偏导数存在(2)函数可微即函数在点(x,y)连续例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:内容小结1.微

3、分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续定义第四节一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分多元复合函数的求导法则对于多元显式复合函数的偏导数直接利用一元复合函数的求导法则即可。但是对于没有具体表达式的多元复合函数（抽象函数）及一些不能显化的多元隐函数来说，一元复合函数的这个求导法则就无能为力了，因此需要另行给出多元复合函数的求导法则。关于多元复合函数的复合情形，分三种情形来讨论.1、一元函数与多元函数复合的情形2、多元函数与多元函数复合的情形3、其他情形定理.若函数处有连续偏导,在点t可导,则复合函数且有链式法则1、一元函数与多

4、元函数复合的情形“分道相加，连线相乘”(全导数公式)该结论可推广到中间变量多于两个的情况.（1）例1.设求全导数解:例2.已知f(u,v)有一阶连续偏导，求全导数（2）定理.若函数处有连续导数,则复合函数处偏导存在,在点处的两个偏导数存在，且有例3.设，其中f有二阶导数，求