多元函数的偏导数与全微分

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1、考研高等数学基础班讲义§5.2多元函数的偏导数与全微分一、偏导数1.定义设二元函数若存在，则记以，或，或称为在点处关于的偏导数。同理，若存在，则记以，或，或称为在点处关于的偏导数。类似地，设即即即2.二元函数偏导数的几何意义表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率；表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率3.高阶偏导数设的偏导数和仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为的二阶偏导数，共有四种5.2.6考研高等数学基础班讲义当在处为连续则，也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。类似地，可以讨论二元函数的三阶及阶偏导数。也可以讨论元函数的高阶偏导数。（97）二元函

2、数，在点处（A）连续，偏导数存在；（B）连续，偏导数不存在；（C）不连续，偏导数存在；（D）不连续，偏导数不存在【例1】求下列函数的一阶和二阶偏导数（1）　　（2）（3）解　（1）；　；　　　；；　　　（2）；；；（3）；；　　　；；【11】设函数，则。（答案：）5.2.6考研高等数学基础班讲义【例2】求的一阶和二阶偏导数。解　　令　，则同理，　　　　，同理　　　；，　　　　　　同理　　　　　，【例3】　求的一阶和二阶偏导数。解　　　　　　　　　，5.2.6考研高等数学基础班讲义，，二、全微分1.　二元函数的可微性与全微分的定义设在点处有全增量　　　　　　　　　　　　若　　

3、　　　　　　其中不依赖于，只与有关，则称在处可微，而称为在处的全微分，记以或2.　二元函数的全微分公式当在点处可微时则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　这里规定自变量微分。一般地　　　　　　　　　　　　3.　二元函数全微分的几何意义二元函数在点处的全微分在几何上表示曲面在点处切平面上的点的竖坐标的增量。4.　元函数的全微分公式类似地可以讨论三元函数和元函数的可微和全微分概念，在可微情况下，5.2.6考研高等数学基础班讲义【例1】　求的全微分。解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】　设，求。解　　　　　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　，

4、　　　　　　　　　　　　　　　　　　三、偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系设，则连续存在四、方向导数与梯度（数学一）（略）五、二元函数的二阶泰勒公式（数学一）设在点的某一个邻域内有三阶连续的偏导数。为此邻域内任一点，则有　　其中余项5.2.6考研高等数学基础班讲义其中在与之间，在与之间。5.2.6