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《§63—65多元函数的偏导数与全微分(温习)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§6.3-6.5多元函数的偏导数与全微分偏导数在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则來计算之。13.求下列函数的偏导数：(3)z=xy+yx(x>0,y>0)；解：乙'=(0+)严=+(把y看作常数，对兀求导)Zy'=(xv+y")=xvInx+xy^x~l(把x看作常数，对y求导)(6)z=cosx),+sin2(x)?)；解：z/=(cosx}j+sin2(x}0)^(把y看作常数，对x求导)=一sing)•y+2sin(jcy)•cos(xy)•y=ysin(xy)[2cos®)-1]Zyf=(co
2、sxy+sin，(xy))、(把x看作常数，对y求导)=一sin(xy)•x+2sin(«xy)•cos(xj?)-x=xsin(xy)[2cos(xy)一1]高阶偏导数例设z=4x3+3x2y-3xy2-x+y,求fj(x9y),y),/,/(%,y)・解fx(X，y)=12x2+6xy-3y$_1,fyr(x9y)=3x2-6xy+l;=[//(x,>,)V=(12x2+6xy-3y2-l)/=24x+6y,fyy(兀,y)=[fy(兀,}')]y=0-+1)/=~6X,Zv/(XO?)=[//(x,y)V=(12x2+6^-3^2-l)/=6x-6y,fyx(x,y)=
3、[fy(x,y)]/=(3x2-6xy+1)/=6x-6y.17.求下列函数的二阶偏导数：(1)z=%cosev+ysinex；解：(1)孚=(xcose*'+ysin^x)/=cosev+ycosex•幺'=cos^v+yexcosexdx"*dzSy=(xcose'+ysiner)/=x(-sinR)•ey+sinex=sinex一xeysiney=(cosey+yexcosex):=yexcosex+yex(-sinex)-ex-yex(cosex一exsinex)=(cosey+yexcose')/=-sin(ev)•ey+excosex=excosex一eysine
4、y=(sinex一xeysinw'))‘=-xeysiney一xeycosey•ey=-xey(siney+eycosey)全微分函数z=/(x,)0的全微分记为dz,dz=^dx+^dy.dxdy函数u=/(x,y,z)的全微分记为du,du=—dx+—dy+—dz.oxdyoz18.求下列函数的全微分：(3)w=xj+yz+;(4)f(x,y)=x2y3在点(2,-1)处的全微分。解：(3)因为u；=(xy+>7+zx)^=y+z,叫:=(xy+yz+疋)，=兀+z,w/=(xy+yz+zx),dz=y+兀所以函数”的全微分为du=u'dx+u'.dy+u'dz=(y+t
5、)dx+(兀+z)dy+(y+x)dz(4)因为//(x,.y)=(x2/),/=2a/,.//(x,y)=U2y3)/=3x2y2，所以函数z的全微分为dz=f：(x,y)dx+f；(x,y)dy=2xy3dx+3x2y2dy因此dzx=2=(2xy3dx+3x2y2dy)x=2=2・2•(-1尸必+3・2?•(-1)2dy=-4dx+12dy。y=-Jv=-i复合函数的偏导数或导数：20・求下列复合函数的偏导数或导数：(2)z=eu~2v,u=sinx,v=y2,求李，型;dxdy解一：Z；=(严f)；=严Zy2.cos上z,=(严2'2片=严"2.(_4刃解二：由变
6、量分析图可得COSX李=李字=(严“(sinx)r=eu-2vcosx=严切?oxcudx畧=鸯畧=(eu-2vXy2)，=eu~2v•(-2)•2y=-4_yecosr-2v(4)u=—~eaxfy=asinx,z=cosx,求举。l+a2dx解况二Qsmx-fosx严+a2l+a2u=^-=(曲心-咛严)，=dcosx+sinx严+的心-严兀.甘=sin兀严dx1+/1+/1+q2解二：由变量分析图可得灯.仏罚+(了严)；伽曲du二du
7、du內
8、QuQz=()'_z?dxdxdydxdzdx‘1+/'U+/=a———veaxHcax•acos兀eax-(-sinx)1
9、+护1+/1+/=ci处阮-汐护x*_J_严・acos兀一_L严・(-sinx)=eaxsinx1+a21+a21+a2抽象复合函数的偏导数或导数:例设"皿,,卩其中/具冇二阶连续偏导数，求知知解：引进中间变量，函数Z可看作如下的复合西数z=/(«*),而U=心上,X由变量分析图可得Z+y-V/+WA-1-X/:+-yVA+yuA5Z6X&內为了避免引进中间变量的麻烦，通常用记号/]'表示对第一个中间变量的偏导数,即•齐九，而用九'表示对第二个中间变量的偏导数，即m同样引用记号fn=fu^他J几,扎2＞
