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1、第二节偏导数与全微分第二节偏导数与全微分一.偏导数1.偏导数的定义定义设z=f(x,y)在点的某邻域内有定义,当y固定在时,得一元函数,z=f(x,y)在点处对x的偏导数类似的,z=f(x,y)在点处对y的偏导数注:(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏导数也是x,y的函数--------偏导函数.(2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元.例如:u=f(x,y,z)(3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数.例如:求时,只要将y视为常数,求f(x,y)关于x的导数.例1.求例2.求偏导数例3
2、.求分段点处偏导数要用定义求例4.在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?故在(0,0)点连续.由定义易知在(0,0)点偏导数不存在.注意:对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系.2.偏导数的几何意义表示曲面z=f(x,y)与平面的交线L在点处的切线对x轴的斜率表示曲面z=f(x,y)与平面的交线L在点处的切线对y轴的斜率二.高阶偏导数二元函数z=f(x,y)的偏导数仍为x,y的函数.它们的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数.混合偏导数类似的定义三阶以上偏导数定理若z=f(x
3、,y)的二阶混合偏导数在(x,y)连续,则(适用于三阶以上)例5.求例6.求三.全微分的概念1.全增量:设z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义,全增量2.定义:如果z=f(x,y)在点(x,y)的全增量可以表示为仅与x,y有关则称z=f(x,y)在点(x,y)可微分称为z=f(x,y)在点(x,y)的全微分注:(1).若函数在区域D内处处可微分,则称它在D内可微分.(2).可微分一定连续.(3).全微分特征:全微分是自变量增量的线性函数;全微分与全增量之差是比高阶的无穷小注:(1).与一元函数类似:(2).此定理反之不
4、然,这是与一元函数的区别.例如:但是函数在(0,0)不可微.四.全微分与偏导数的关系定理1(可微的必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则称它在该点的偏导数必存在,且以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上定理2(可微的充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)连续,则函数在该点可微.注意:反之不然.例如:在点(0,0)处可微,但偏导数不连续.(证明略)例6.求在(2,1)点的全微分例7.求的全微分注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别一元函数:可导可微连续多元函数:可偏导可微连续偏导数连续练习
