多元函数的偏导数与全微分.ppt

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1、第二节多元函数的偏导数与全微分一、二元函数的偏导数三、全微分作业习题5.21，2，4,5，6,8,9,10(2)，11（2）二、二元函数偏导数的几何意义四、全微分在数值计算中的应用一、偏导数引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是中的x固定于求一阶导数与二阶导数.x0处,关于t的将振幅2/30定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设二元函数注意:3/30同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,4/30例如,三

2、元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)5/30及y的偏导数均存在,如果例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.6/30例2.设证:例3.求的偏导数.解:求证7/30偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,8/30二、二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的9/30函数在某点各偏导数都存在,显然例5注意：并不能保证

3、在该点连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!10/3011/30在上册课本中，我们知道：边长为x的正方形,当边长改变一点点时,面积的改变量是引例设长方形的长为x,宽为y,当长和宽均改变一点点时,求面积的改变量.线性主部线性主部定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作注：若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.12/30当充分小时,全微分就是f在处的改变量.三、

4、全微分(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即13/30定理1(可微的必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则(1)函数在该点连续;(2)该函数在该点偏导数同样可证证(2):由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有14/30例6函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:15/30定理2(可微的充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.16

5、/30(由连续的定义及极限与无穷小的关系)所以函数在点可微.注意到,故有17/30推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数可微，则它的的全微分为：例7.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例8.计算函数的全微分.解:18/30可知当四、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)19/30半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了例9.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.

6、求此圆柱体20/30例10.计算的近似值.解:设,则取则21/30分别表示x,y,z的绝对误差,2.误差估计利用令z的绝对误差约为z的相对误差约为则22/30特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘积的相对误差等于各个因子的相对误差之和；商的相对误差等于分子与分母的相对误差之和；即乘除的结果相对误差都变大；很小的数不能做除数23/30例11.利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以S的相对误差约为计算三角形面积.现测得24/30内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在

7、函数在此点连续2.偏导数的计算方法先代后求先求后代利用定义25/302.微分定义:3.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续26/304.微分应用•近似计算，误差估计函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.选择题备用题1.设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解:2.设解:利用轮换对称性,可得(L.P245例2)注意:x,y,z具有轮换对称性在点(0,0)可微，在点(0,0)连续且偏导数存在,证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连续。3.证明函数所以同理极限不存在,在点(0

8、,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)4)下面证明可微:说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则例4.在直流电路中,测得电压U=24伏,解:由欧姆定律可知(欧)所以R的相对误差约为0.3+0.5R的绝对误差