多元函数的偏导数和全微分课件.ppt

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1、第14讲多元函数的偏导数和全微分一.多元连续函数的性质多元连续函数具有类似一元连续函数的性质。1.多元连续函数作有限次加、减、乘、除（分母不为零）及复合运算后所得函数仍然连续。2.有界闭区域上的连续函数有最大值和最小值。3.有界闭区域上的连续函数能取得介于最大值和最小值间的任何值。设函数在点的某邻域内有定义。处可导,即有定义1.二.多元函数的偏导数若一元函数在则称此导数为在点处关于x的偏导数,记作此偏导数也记作类似可定义关于y的偏导数.例1.设解：求类似可求设函数内任一点处都存在则可得的偏导数,对在区域定义

2、2.记作x(或y)的对x(或y)偏导函数（简称偏导数）,例2.设求解：将视为常数，对求导得将视为常数，对求导得练习.设求答：例3.设解：求若则若则因此多元函数的偏导数的偏导数称为的二阶的二阶偏导数有四种：定义3.三.高阶偏导数偏导数。二元函数其中类似可定义更高阶偏导数。和称为混合偏导数。例4.设求解：例5.设解：求例6.设解：求可见和未必相等.定理：若和都在点处连续,则设函数在点的某邻域内有定义。可以表示为定义4.四.偏导数和可微性若对任意函数在点处的全增量其中A,B是只与则称有关的常数，在处可微。称为在处

3、的全微分，记作考虑A,B是否与偏导数有关。若函数在点则在某可微,令内有则上式成为由此得即类似可得因此有定理：若函数在点则在可微,在一阶偏导数,存且上式也习惯地写成例7.求在点解：处的全微分。因此例8.求在点解：处的偏导数,并讨论在该点的可微性。类似可得但若取则在原点可微，设令则由定理有与假设矛盾。因此f在原点不可微。函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在，定理：若函数在点的某邻域内存在一阶偏导数,反之不然。则在可微。处连续,且偏导数在练习.考虑在原点的可微性及偏导数的连续性。答：可微，偏导数存在但不连续

4、。函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在，定理：若函数在点的某邻域内存在一阶偏导数,反之不然。则在可微。处连续,且偏导数在上述关于偏导数、可微的概念和结论也可以推广到n元函数。n元函数在点处的全微分为其中五.连续、可微与偏导数存在之间的关系一元函数：可导可微连续多元函数：若在点则在某可微,内有当时,上式右端趋于0,即函数在该点连续。各偏导数存在可微连续?五.连续、可微与偏导数存在之间的关系函数在原点处不连续，考虑两个偏导数是否存在？答：存在于是各偏导数存在可微连续五.连续、可微与偏导数存在之间的关系一元

5、函数：可导可微连续多元函数：各偏导数存在可微连续各偏导数连续作业：P16.1;7.P24.2.(1);4.