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1、对一元函数：导数描述了函数在处的瞬时变化率，它的几何意义就是函数曲线上点处的切线的斜率.对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，6-4偏导数与全微分以二元函数为例，将自变量固定时，就是的一个一元函数,这函数求得的对导数，称作对的偏导数，类似地，可考虑对的偏导数.1.一阶偏导数(偏微商)的定义定义设函数在点的某一邻域内有定义，若存在，则称此极限为若存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作函数在点处对的偏导数，记作或或如果函数在区域D内每一点处对和对的的偏导数都存在，那么我们就说函数在D内可导，它在D内的偏导数仍是和的二元函数，称为偏导函数，
2、简称偏导数，记为或求偏导方法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可.例1解例2设解例3解法1解法2(先代后求)(先求后代)例4设解例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)例5解二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!一元函数在某点可导，则在该点连续.偏导数的几何意义说明了:二元函数的偏导数存在,只是表明函
3、数沿x和y轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.2.高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:若函数的两个混合偏导数和在区域D内连续,则在该区域内这两个二阶偏导数必相等,即:定理1及称为混合偏导数.例6设，求二阶偏导数.解注意:此处类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为例7证明满足平面拉普
4、拉斯方程.证利用对称性,有一个含有未知函数的偏导数的方程式称作偏微分方程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程.例8证明函数满足拉普拉斯证利用对称性,有方程拉普拉斯算子内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)应用一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差3.全微分设二元函数为全增量：称为函数在点处的全增量.是与的二次以上的多项式所以有可用与的线性函
5、数近似代替.是关于与的线性函数定义为函数在处的全微分,记为：设在点的某个邻域内有定义,其中只与点有关而与自变量的改变量无关,则称在处可微，并称---全增量的线性主要部分当在区域内每一点都可微时,称函数在可微.若的全增量可写成(6.3)对于一般的二元函数，我们也希望能用的一个线性函数来近似代替为此，引进全微分的概念.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理2若在处可微,定理3若在处可微,则它在处的两个偏导数存在,且则在处必连续.证由全增量公式
6、若在区域D内可微,则在D内任一点的全微分可写成或写成定理3告诉我们偏导数存在是二元函数全微分存在的必要条件，但不是充分条件.例函数易知它在(0,0)点的偏导数存在,注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:但它在(0,0)点并不连续.另一方面，连续是可微的必要条件.由此可见，这个函数在(0,0)点不可微.若的偏导数与在点的某个邻域内存在,且这两个偏导数在处连续,则在点处可微.定理4(可微的充分条件)证考察函数的全增量(应用拉格日中值定理)故有代入到（*）式得事实上由夹逼定理得因此推论若是中的一个区域,而也即在区域中有连续的一阶偏导数,则在内
7、可微.初等函数在其定义域内是连续的,所以对于初等函数,只要偏导数存在就一定可微.例9解内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，习题6-41.单数；2.(1);5.(2)(4);6.7.8.10.(1)(4);12.14.17.
