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1、5.3偏导数与全微分5.3.1偏导数在前面一元函数部分,由函数关于自变量的变化率问题引进了导数的概念.现在我们考虑二元函数的变化率.假定两个自变量中只有一个改变,而另一个保持不变而得到的“导数”称为偏导数。定义6.3.1设函数z=f(x,y)在点的某个邻域内有定义.如果固定后,一元函数在点处可导,即极限存在,则称此极限值为函数z=f(x,y)在点处关于自变量x的偏导数,类似地，可以定义关于自变量y的偏导数。如果函数在区域D内每一点的偏导数都存在，则称函数在区域D内偏导数存在。Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET
2、3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例5.3.1求函数在点(1,2)处的偏导数。解求时,把y看作常数,对x求导得求时,把x看作常数,对y求导得将x=1,y=2分别待入上面两式，得Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProf
3、ile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.解设中间变量u=xy,则z=f(xy)可看成一元函数z=f(u)与二元函数u=xy的复合函数。于是，由一元函数的琏式求导法则，可得解把y和z都看作常量，对x求导得Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例5.3.5求函数的偏导数和.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3
4、.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.5.3.2偏导数的意义1.偏导数的几何意义2.偏导数的经济意义5.3.3高阶偏导数一般地,二元函数z=f(x,y)的偏导数仍为自变量x,y的二元函数.因此有一个继续求偏导数的问题.如果这两个偏导数关于x,y的偏导数还存在,则称它们为二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对两个自变量的求导次序不同,二元函数有下列四个二阶偏导数它们分别为:Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfil
5、e5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.其中，称为函数z=f(x,y)对x和对y的二阶偏导数，称为函数z=f(x,y)对x和对y的二阶混合偏导数。类似地，还可得到更高阶的偏导数，如二元函数z=f(x,y)的4个二阶偏导数仍为x,y的函数，又有可能再对x,y求偏导数，得到z=f(x,y)的8个三阶偏导数。一般地，对函数z=f(x,y)的n阶偏导数再求一次偏导数，便得到z=f(x,y)的n+1阶偏导数。例如,n阶偏导数Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientPr
6、ofile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.解先求一阶偏导数再求二阶偏导数可以看出，上例中两个混合偏导数是相等的，但并不是对所有函数都成立。我们有如下结论：若函数z=f(x,y)的两个混合偏导数在区域D内连续，则必有Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5Client
7、Profile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.5.3.4全微分定义5.3.2设二元函数z=f(x,y)在点的某邻域内有定义，对于自变量x,y在点处的改变量,如果函数z=f(x,y)相应的改变量可以表示为则称的线性主部为函数z=f(x,y)在点处的全微分，记为dz，即并称函数在此处可微分。若函数在区域D的每一点处都可微，则称函数在区域D内可微。Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011A
