《偏导数全微分》PPT课件

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1、一、偏导数的定义及其计算法第二节偏导数多元函数关于其中一个自变量的变化率，称为多元函数的偏导数。定义引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是将振幅求u(x0,t)关于t的一阶与二阶导数。u(x,t)中的x固定于x0处,8/27/20211偏导数的几何意义如图x0y0(x0,y0,0)8/27/20212几何意义fx(x0,y0)是曲线　在点(x0,y0,z0)处的切线沿x轴的斜率。fy(x0,y0)是曲线　在点(x0,y0,z0)处的切线沿y轴的斜率。偏导函数8/27/20213偏导数的概念可以推广到二元以上函数

2、如在处8/27/20214例４设求f(x,y)的偏导数。解8/27/20215偏导数存在、连续、极限存在的关系f(x,y)在(x0,y0)偏导数存在f(x,y)在(x0,y0)连续f(x,y)在(x0,y0)极限存在在(0,0)极限不存在，例如在(0,0)不连续，但　　　　　　　　　。8/27/20216二、高阶偏导数8/27/20217问题：混合偏导数都相等吗？例７设求二阶混合偏导数。解8/27/20218按定义可知：8/27/20219例9证明函数满足拉普拉斯方程例8证明函数满足拉普拉斯方程8/27/202110内

3、容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)8/27/202111思考与练习：设z=f(u)，方程确定u是x,y的函数,连续,且解：8/27/202112作业P635（1）（3）（5）；6（1）（3）（5）；7,（1）；8；P693；4；5；6（2）（3）；7；8；9（2）8/27/202113第三节、全微分的定义一、

4、全微分的概念1.回忆：一元函数的微分2.二元函数的偏增量与偏微分应用近似计算估计误差中值定理：8/27/2021143.二元函数的全增量与全微分全增量例1求在(x,y)和(1,1)的全微分其中全微分定义（略）则称为二元函数在(x,y)的全微分。其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关。若z=f(x,y)在区域D内处处可微分，则称z=f(x,y)在D内可微分。8/27/202115注：类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点：（1）dz是△z的线性主部；（2）误差为o()2.函数z=f(x,y)在点(x,y

5、)可微函数在该点连续。3.几何意义：函数z=f(x,y)在(x,y)点可微⇔曲面z=f(x,y)在(x,y)点切平面存在。由微分定义:8/27/202116二、可微分的条件证明：定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，则该函数在点(x,y)的偏导数存在，且z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为:。8/27/202117注意：定理1的逆定理不成立，即:偏导数存在不一定可微!反例：则8/27/202118证明：8/27/202119例2计算函数的全微分。8/27/202120例3设解:利用轮换对称

6、性,可得：8/27/202121证明：（1）令：则????8/27/202122（2）不存在。8/27/202123注:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件。8/27/202124内容小结1.微分定义:2.重要关系:偏导存在函数可微偏导数连续函数连续8/27/202125课外作业：8/27/202126全微分在近似计算中的应用也可写成8/27/202127解由公式得8/27/202128练习题8/27/2021298/27/2021308/27/202131练习题答案8/27/2021328/27/2021338/2

7、7/202134不存在.观察播放8/27/202135不存在.观察8/27/202136观察不存在.8/27/202137观察不存在.8/27/202138观察不存在.8/27/202139观察不存在.8/27/202140观察不存在.8/27/202141观察不存在.8/27/202142观察不存在.8/27/202143观察不存在.8/27/202144观察不存在.8/27/202145观察不存在.8/27/202146观察不存在.8/27/202147