偏导数与全微分ppt课件.ppt

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1、§7—2偏导数与全微分一．偏导数①一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率，即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）oxyPx1.一元函数变化率与多元函数变化率●二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率﹑随y变化的变化率﹑随x﹑y同时变化的变化率。即点M(x,y)在域D内可沿x轴﹑沿y轴﹑沿其它直线方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。oxyzMPD②一元函数变化率问题是研究二元函数变化率问题的基础●对于曲面z=f(x,y)，当我们用过点(0,y0,0)而平行于xoz面(垂直于

2、y轴)的平面去截时，截口是一条曲线z=f(x,y0),它在xoz面上的投影是z对于x的一元函数的图象，研究这条曲线的变化率就是研究二元函数z=f(x,y)当y=y0时沿x轴方向的变化率。MM′P0x0DSXyzz=f(x,y0)oy0③二元函数z=f(x,y)当y不变(x不变)时，对于x(对于y)的变化率，就是二元函数的偏导数。●一般地，当y不变时，z=f(x,y)是x的一元函数，研究这个一元函数的变化率，就是研究二元函数z=f(x,y）沿x轴方向的变化率。●对于x不变时，情形类似。2．偏导数定义设二元函数z=f(x,y)在∪(P0(x0,y0))有定义，当y=y0

3、不变时，x在x0取得增量x，相应地函数有增量f(x0+x,y0)-f(x0,y0)，若存在，则称A为z=f(x,y)在点(x0,y0)处对于x的偏导数记为如类似地，z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏导数定义为记为[注记]：①偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)分别描述z=f(x,y)在点(x0,y0)处沿x方向，y方向的变化率；②z=f(x,y)在点(x0,y0)处沿其它方向的变化率称为方向导数，将在后面讨论；③二元以上的多元函数的偏导数，类似二元函数情形。3．偏导函数概念①偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点(x,y)处对x（y）

4、的偏导数都存在，则它就是x,y的函数，称为偏导函数。②记号：③z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是偏导函数在(x0,y0)处的函数值。④在不至混淆时常称偏导函数偏导数。或或4．偏导数的计算法对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自变量视为常数，按一元函数求导法则计算：求时，只要把y暂时看作常量而对x求数；求时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。⑴求在点（1，2）处的偏导数解：例1解：⑵求的偏导数解：⑶设，求证解：⑷求的偏导数(三元函数)5.偏导数的几何意义——切线M0Tx对x轴的斜率——切线M0Ty对y轴的斜率oxyzM0P0x0y0TyTxz=f(x0,y)z

5、=f(x,y0)例2求二元函数的偏导数⑴⑵解（1）：解（2）：当时当时6.偏导数的经济意义边际需求偏弹性7．多元函数可导与连续的关系z=f(P)在P0点各偏导数存在z=f(P)在P0点连续例如：函数在点(0，0)不连续，但偏导数存在M0P0oxyz二．高阶偏导数二阶偏导数：若z=f(x,y)的偏导数的偏导数也存在，则称其是函数z=f(x,y)的二阶偏导数。z=f(x,y)的二阶偏导数记号：解：（1）例1求二阶偏导数（2）解：[注记]：①若在D内连续，则在D内（二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）②类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、…、n阶偏导数，二阶以上的偏导数

6、统称高阶偏导数；③高阶混合偏导数与求导次序无关的条件类似二阶情形；④二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个，n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个；等等。例2求的n阶偏导数解：三．全微分1．全增量⑴偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一个变化时，函数z的增量称为偏增量。例如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加x(或宽增加y)，则面积的增量是偏增量。右端称偏微分⑵全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取得增量时，函数z的增量称为全增量。例如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变这时面积的改变量（增量）就是全增量。定义(全增量)：

7、设z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域∪(P0)内有定义，当x：x0→x0+△x；y：y0→y0+△y，相应地z：f(x0,y0)→f(x0+△x,y0+△y)[P(x0+△x,y0+△y)∈∪(P0)]称△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)为z=f(x,y)在点P0的关于自变量增量△x、△y的全增量。例3设矩形金属板的长宽各为x0,y0，受热后分别有增量△x,△y，求矩形面积的增量△S。解：∵S=x·y∴S=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=(x0+△x)(y0+△y)-x0·y0=x0·△y+y0·△x+△x·△yo