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1、二、可微的条件一、全微分的概念多元函数的全微分第三节第八章函数的微分一元函数y=f(x)的增量：（当一元函数y=f(x)可导时）二元函数z=f(x,y)：（当二元函数z=f(x,y)对x的偏导数存在时）对x的偏增量对x的偏微分一、全微分的概念1.问题的提出对y的偏增量对y的偏微分（当二元函数z=f(x,y)对y的偏导数存在时）在点(x,y)的全增量问题的线性函数来近似代替函数的全增量？可否用自变量的增量如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处的可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微
2、分,记作则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，全增量2.全微分的定义定义8.71°若函数在域D内各点都可微,则称此函数2°由定义可知,f(x,y)在点(x0,y0)可微的充要条件是:在D内可微.注定理8.2(多元函数可微的必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则(2)函数z=f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有(1)函数z=f(x,y)在点(x,y)连续;从而二、可微的条件若z=f(x,y)在点(x,y)可微,则证1.可微与连续、可偏导的关系得到对x的偏增量(2)由可微定义，有从而(1)1°习惯上
3、把自变量的增量用自变量的微分表示,同样可证因此有注通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．全微分的定义可推广到三元及三元以上函数叠加原理也适用于二元以上函数的情况．2°可微与连续、可偏导的关系对于多元函数，可微连续可偏导3°如何判断多元函数的可微性①若不连续，则不可微；②若偏导数不存在，则不可微；③连续且偏导数存在时,用可微的充要条件判断:？用此式判断函数在一点是否可微例1讨论(1)连续；(2)偏导数存在；(3)可微.解(1)=0=f(0,0)(2)(3)？则2.可微与偏导数连续
4、的关系定理8.3(多元函数可微的充分条件)若函数的偏导数则函数f(x,y)在该点可微.证由有限增量公式依偏导数的连续性及函数极限与无穷小的关系：只须证这一部分是比ρ高阶的无穷小即函数在点可微.注意到故有偏导数连续可微例2证令则同理故函数在点(0,0)处连续;不存在.下面证明：可微.令则注此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.而非必要条件.多元函数连续、偏导数、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续偏导数存在例3解例4计算函数在点(2,1)处的全微分.解求函数时的全增量和全微分.解例5从而当x=2,y=1,△x=0.01,△y
5、=-0.03时内容小结1.微分定义:2.重要关系:偏导数存在函数可微偏导数连续函数连续3.讨论函数在（0，0）点是否可微的步骤(1)讨论函数在(0,0)点是否连续,若不连续,则不可微;(2)讨论函数在(0,0)点的偏导数是否存在,若不存在,则不可微;(3)当函数在(0,0)点连续,且偏导数存在时,用下式讨论函数在(0,0)点是否可微思考题函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.备用题解例1-1例1-2解例3-1解例3-2计算函数解的全微分.例4-1解例4-2设解利用轮换对称性,可得注意:x,y,
6、z具有轮换对称性解例5-1
