《多元函数微分》PPT课件

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1、第八章多元函数微分学8.1多元函数的极限与连续8.2偏导数8.3全微分8.4多元复合函数微分法8.5隐函数的微分法8.6多元函数微分法在几何上的应用8.7方向导数和梯度8.8多元函数的极值8.9*二元函数的泰勒公式8.10*最小二乘法8.1多元函数的极限与连续8.1.1平面点集的知识有序实数对集：1-1“有序实数对”与“平面上的点”不加区别.例如：二维空间：1.邻域定义邻域.空（去）心邻域:2.内点：4.界点：3.外点：边界内点5.聚点:(a)内点一定是聚点；注：例:(b)点集的聚点可以属于，也可以不属于．6.开集：如：是开集．7.闭集：例如：是闭集；不是开集，

2、也不是闭集；而既是开集，又是闭集；约定：空集既是开集，又是闭集.8.开区域：例如:是开区域；9.闭区域：是闭区域；连通的开集称为开区域.而既是开区域，又是闭区域.若不需要指明区域的开闭性或区域的开闭性比较明显，就简称为区域.是有界闭区域；是无界开区域．例如，10.有界点集：无界点集：非有界点集.11.区域的直径：设邻域：中内点、边界点、区域、聚点等概念可类似定义．维空间中两点间距离公式8.1.2多元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．定义注由于此处定义的多元函数的值是实数，定义中的函数也称为数量值函数（以后还要讨论向量值函数）.例1求的定义域．解所求定义域

3、为:解所求定义域为：二元函数的图形（如下页图）称为二元函数的图形.二元函数的图形通常是一张曲面.例3.球面可确定两个二元函数222yxaz--=二元函数:对于三元(及其以上)函数没有明显的几何意义.8.1.3多元函数的极限定义二重极限注定理例1证明证当时，原结论成立．其值随k的不同而变化，此时，不能断定极限存在！证例4证明不存在．若取,kxy=取此时，不能断定极限存在！故不存在．其中例5求下列极限：8.1.4多元函数的连续性定义例1讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．由多元多项式及基本初等函数经过有限次

4、的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称为多元初等函数闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理解多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）小结多元函数的定义多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质思考题思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取