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时间:2020-01-13
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1、函数微分的定义:设函数在某区间内有定义,x0及x0+△x在这区间内,若函数的增量可表示为,其中A是不依赖于△x的常数,是△x的高阶无穷小,则称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即:=。通过上面的学习我们知道:微分是自变量改变量△x的线性函数,dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量,我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出:当△x→0时,△y≈dy.导数的记号为:,现在我们可以发现,它不仅表示导数的记号,而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分),还可表示为:由此我们得出:若函数在某区间上可
2、导,则它在此区间上一定可微,反之亦成立。导数的定义:设函数在点x0的某一邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时,相应地函数有增量,若△y与△x之比当△x→0时极限存在,则称这个极限值为在x0处的导数。记为:还可记为:,函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导,否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导,就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,我们就称这个函数为原来函数的导函数。导数公式微分公式函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则拉
3、格朗日中值定理 如果函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点c,使 成立。 这个定理的特殊情形,即:的情形,称为罗尔定理。描述如下: 若在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且,那末在(a,b)内至少有一点c,使成立。 注:这个定理是罗尔在17世纪初,在微积分发明之前以几何的形式提出来的。 注:在此我们对这两个定理不加以证明,若有什么疑问,请参考相关书籍 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理 如果函数,在闭区间[
4、a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且≠0,那末在(a,b)内至少有一点c,使成立。罗彼塔(L'Hospital)法则 当x→a(或x→∞)时,函数,都趋于零或无穷大,在点a的某个去心邻域内(或当│x│>N)时,与都存在,≠0,且存在 则:= 这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法,就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则 注:它是以前求极限的法则的补充,以前利用法则不好求的极限,可利用此法则求解。 注:罗彼塔法则只是说明:对未定式来说,当存在,则存在且二者的极限相同;而并不是不存在时,也不存在,此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。曲线
5、凹向的判定定理 定理一:设函数在区间(a,b)上可导,它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是: 导数在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。 定理二:设函数在区间(a,b)上可导,并且具有一阶导数和二阶导数;那末: 若在(a,b)内,>0,则在[a,b]对应的曲线是下凹的; 若在(a,b)内,<0,则在[a,b]对应的曲线是上凹的;不定积分的概念 函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分, 记作。 由上面的定义我们可以知道:如果函数F(x)为函
6、数f(x)的一个原函数,那末f(x)的不定积分就是函数族 F(x)+C. 即:=F(x)+C分部积分法 这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道,两个函数乘积的求导公式为: (uv)'=u'v+uv',移项,得 uv'=(uv)'-u'v,对其两边求不定积分得: , 这就是分部
7、积分公式例题:求 解答:这个积分用换元法不易得出结果,我们来利用分部积分法。 设u=x,dv=cosxdx,那末du=dx,v=sinx,代入分部积分公式得: 关于分部积分法的问题 在使用分部积分法时,应恰当的选取u和dv,否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点: (1)v要容易求得; (2)容易积出。有理函数的积分举例 有理函数是指两个多项式的商所表示的函数,当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式, 反之为
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