函数微分的定义

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1、函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=。通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可

2、导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。导数的定义：设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。导数公式微分公式函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则拉

3、格朗日中值定理  如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使                         成立。  这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下：  若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。  注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。  注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍  下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理  如果函数，在闭区间[

4、a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。罗彼塔(L'Hospital)法则  当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时，与都存在，≠0，且存在    则：=  这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则  注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。  注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且二者的极限相同；而并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。曲线

5、凹向的判定定理 定理一：设函数在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是：          导数在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。 定理二：设函数在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：          若在(a,b)内，＞0，则在[a,b]对应的曲线是下凹的；          若在(a,b)内，＜0，则在[a,b]对应的曲线是上凹的；不定积分的概念  函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，                             记作。  由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函

6、数f(x)的一个原函数，那末f(x)的不定积分就是函数族                             F(x)+C.                             即:=F(x)+C分部积分法  这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。  设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为：                     (uv)'=u'v+uv'，移项，得                      uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得：                      ，  这就是分部

7、积分公式例题：求  解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。           设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：             关于分部积分法的问题 在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点：          (1)v要容易求得；          (2)容易积出。有理函数的积分举例  有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式，  反之为