定义4.3含有未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.ppt

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1、定义4.3含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程.微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶.定义4.4如果一个函数代入微分方程后，使得方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解.其一般形式为4.5微分方程初步4.5.2可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程F(x,y,y)=0可以化为g(y)dy=f(x)dx(4.5.1)称为可分离变量的微分方程.两边积分，得其中C是任意常数.解原方程可改写为=2x(y+3).分离变量，得例1解微分方程两边积分，得记，则方程的通

2、解为解例2解微分方程两边积分，得所以即由上式解得解原方程可化为·sinx=ycosx.分离变量，得例3求微分方程sinx–ycosx=0满足初始条件的特解.两边积分，得lny=lnsinx+lnC，所以，y=Csinx是原方程的通解.由初始条件，可得C=3.故所求特解为y=3sinx.可分离变量的微分方程往往具有y=f(x)g(y)或解R(Q)=50–2Q是变量已分离的微分方程.两边积分得当Q=0，即产出量为零时，应有R(0)=0.由初始条件可得C=0.所以，总收益函数为例4设某厂生产某种商品的边际收益函数为，其中Q为该种产品的产出量.

3、如果该产品可在市场上全部售出，求总收益函数R(Q).例5随着我国经济的高速增长，环境污染问题已成为大家共同关注的问题.本例说明如何运用微分方程来研究水污染问题.设某水库的现有库存量为V(单位：km3)，水库已被严重污染.经计算，目前污染物总量已达Q0(单位：吨)，且污染物均匀地分散在水中.如果现已不再向水库排污，清水以不变的速度r(单位：km3/年)流入水库，并立即和水库的水相混合，水库的水也以同样的速度r流出.如果记当前的时刻为t=0.(1)求在时刻t，水库中残留污染物的数量Q(t).(2)问需经多少年才能使水库中污染物的数量降至原来的1

4、0%.解(1)根据题意，在时刻t(t≥0)，Q(t)的变化率=–(污染物的流出速度).其中负号表示禁止排污后，Q将随时间逐渐减少.这时，污染物的质量浓度为Q(t)/V.因为水库的水以速度r流出，所以污染物流出速度=污水流出速度由此可得微分方程这是一个可分离变量的微分方程.分离变量得两边积分，得即由题意，初始条件为，代入上式，得，故微分方程的特解为(2)当污染物降至原来的10%时，有Q(t)=0.1Q0.代入上式得解得(年).4.5.3一阶线性微分方程未知函数及其导数都是一次的微分方程，称为一阶线性微分方程.一阶线性微分方程的一般形势为+p(

5、x)y=q(x).(4.5.3)y+p(x)y=0.(4.5.4)如果，(4.5.3)式化为(4.5.4)式称为一阶线性齐次微分方程.当时，(4.5.3)式称为一阶线性非齐次微分方程.1.一阶线性齐次微分方程的通解(4.5.4)是可分离变量的微分方程.分离变量后，(4.5.4)式化为两边积分，得所以方程(4.5.4)的通解为2.一阶线性非齐次方程的通解因此即两边积分，得将上式代入(4.5.6)式，得例6求微分方程y+2xy=2x的通解.解此方程为一阶线性非齐次微分方程，先解对应的一阶线性齐次方程y+2xy=0.可得其通解为令原方程的通

6、解为则将y和y代入原方程，原方程化为于是原方程的通解为即所以分离变量，得dy=cotxdx，=lnsinx+lnC.两边积分，得例7求微分方程y–ycosx=2xsinx的通解.解法1此方程是一阶线性非齐次微分方程.y–ycotx=0，因此，对应的齐次方程的通解为y=Csinx.令y=u(x)sinx，则y=sinx+u(x)cosx.将y和y代入原方程，得u(x)sinx+u(x)cosx–u(x)sinxcotx=2xsinx，即u(x)=2x.两边积分，得u(x)=+C.所以，原方程的通解y=(x2+C)sinx.则

7、原方程的通解为解法2由于p(x)=–cotx，q(x)=2xsinx，=–lnsinx.易求