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时间:2019-07-24
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1、定义4.3含有未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程.微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数,称为微分方程的阶.一阶微分方程的一般形式为.4.5.1基本概念例如 ,都是一阶微分方程.定义4.4如果一个函数代入微分方程后,使得方程两端恒等,则此函数称为该微分方程的解.4.5.1基本概念4.5.1基本概念例如, , 都是微分方程 的解.其中,含有一个任意常数,它称为该微分方程的通解,而是 时,该微分方程的解,它称为该微分方程的特解.一般,如果一阶微分方程的解中含有一个任
2、意常数,则称此解为微分方程的通解,在通解中,如果可确定任意常数的值,所得到的解称为微分方程的特解.为了确定任意常数的值,通常需给出 时未知函数对应的值 ,记作 或 .这一条件称为初始条件.4.5.1基本概念如果一阶微分方程 可以化为(4.5.1)的形式,则 称为可分离变量的微分方程.微分方程(4.5.1)称为变量已分离的微分方程.在(4.5.1)式两边积分,得,(4.5.2)4.5.2可分离变量的一阶微分方程其中 是任意常数.(4.5.2)就是微分方程(4.5.1)的通解表达式.应注意,不定积分, 分别表示
3、和的一个原函数,任意常数 要单独写出来.4.5.2可分离变量的一阶微分方程例1解微分方程 .两边积分,得解原方程可改写为 .分离变量,得.,4.5.2可分离变量的一阶微分方程记 ,则方程的通解为 .,即 .4.5.2可分离变量的一阶微分方程例2解微分方程 .解分离变量,原微分方程化为,两边积分,得,4.5.2可分离变量的一阶微分方程所以,即 .得 .4.5.2可分离变量的一阶微分方程解原方程可化为 .分离变量,得两边积分,得,,例
4、3求微分方程 满足初始条件 的特解.4.5.2可分离变量的一阶微分方程或的形式.经过代数运算,它们都可以化(4.5.1)的形式.所以, 是原方程的通解.由初始条件 ,可得.故所求特解为 .可分离变量的微分方程往往具有4.5.2可分离变量的一阶微分方程例4设某厂生产某种商品的边际收入函数为 ,其中 为该种产品的产出量.如果该产品可在市场上全部售出.求总收入函数 .解是变量已分离的微分方程.两边积分得.4.5.2可分离变量的一阶微分方程当 ,应有 .由此可得 .所以,总收入函数为.4.5.2可
5、分离变量的一阶微分方程例5设某水库的现有库存量为(单位: ),水库已被严重污染.经计算,目前污染物总量已达 (单位:吨),且污染物均匀地分散在水中.如果现已不再向水库排污,清水以不变的速度 (单位:/年)流入水库,并立即和水库的水相混合,水库的水也以同样的速度 流出.如果记当前的时刻为 .4.5.2可分离变量的一阶微分方程(1)求在时刻 ,水库中残留污染物的数量 .(2)问需经多少年才能使用水库中污染物的数量降至原来的10%.解(1)根据题意,在时刻 ,的变化率=-(污染物的流出速度).污染物流出速度=污水流出速度.4.5.2可分离变量的一阶微
6、分方程由此可得微分方程,即 , ..分离变量得,两边积分,得4.5.2可分离变量的一阶微分方程由题意,初始条件为 ,代入上式,得 ,故微分方程的特解为.(2)当污染物降至原来10%时,有.代入上式得,4.5.2可分离变量的一阶微分方程例如,当水库的库存量 ,流入(出)速度为150(/年)时,可得(年).解得(年).4.5.2可分离变量的一阶微分方程4.5.3一阶线性微分方程未知函数及其导数都是一次的微分方程,称为一阶线性微分方程.一阶线性微分方程的一般形式为.(4.5.3)如果 ,(4.5.3)式化为.(4.5
7、.4)4.5.3一阶线性微分方程(4.5.4)式称为一阶线性齐次微分方程.当时,(4.5.3)式称为一阶线性非齐次微分方程.所以方程(4.5.4)的通解为.(4.5.5)4.5.3一阶线性微分方程,两边积分,得1.一阶线性齐次微分方程的通解(4.5.4)分离变量后,化为,4.5.3一阶线性微分方程(4.5.3)的通解可以利用“常数变易法”得到:首先求得微分程(4.5.3)对应的一阶线性齐次方程 的通解(4.5.5),然后将(4.5.5)式中的任意常数 换为待定的函数 .即设方程(4.5.3)的通解为.(4.5.6)2.一阶线性非齐次方程
8、的通解4.5.3一阶线性微分方程将(4.5.6)式和(4.5.7)式代入(4.5
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