资源描述：
《微分的概念与定义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、微分的概念与定义导数与微分的关系微分的几何意义微分形式的不变性•导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。•微分指明,当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.2x0Δx(Δx)设边长由x变到x+Δx,002x0ΔxΔx正方形面积A=x0的改变量22ΔA=(x+Δx)−x2x00A=x00xΔx02=2x⋅Δx+(Δx).0(1)(2)(1):Δx的线性函数,且为ΔA的主要部分;(2):Δx的高阶无穷小,当Δx很小时可忽略.再例如,3设函数y=x在点x处的改变量0为Δx时,求函数的改变
2、量Δy.33Δy=(x+Δx)−x00223=3x⋅Δx+3x⋅(Δx)+(Δx).00(1)(2)当Δx很小时,(2)是Δx的高阶无穷小o(Δx),2∴Δy≈3x⋅Δx.既容易计算又是较好的近似值0但是Δy=3x0+Δx−3x0=AΔx+o(Δx)?问题:一般函数y=f(x)是否也有Δy=f(x+Δx)-f(x)=AΔx+o(Δx)?A是什么?如何求?二、微分的定义定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x及x+Δx在这区间内,如果00Δy=f(x+Δx)−f(x)=A⋅Δx+o(Δx)00成立(其中A是与Δx无关的常数),则称函数y=f(x)在点x可微,并且称
3、A⋅Δx为函数0y=f(x)在点x相应于自变量增量Δx的微分,0记作dy或df(x),即dy=A⋅Δx.x=x00x=x0微分dy叫做函数增量Δy的线性主部.(微分的实质)函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的微分,记作dy或df(x),即dy=f′(x)Δx.由定义知:(1)dy是自变量的改变量Δx的线性函数;(2)Δy−dy=o(Δx)是比Δx高阶无穷小;(3)当A≠0时,dy与Δy是等价无穷小;Δyo(Δx)∵=1+→1(x→0).dyA⋅Δx(4)A是与Δx无关的常数,但与f(x)和x有关;0(5)当Δx很小时,Δy≈dy(线性主部).三、可微的条件
4、定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函0数f(x)在点x处可导,且A=f′(x).00证(1)必要性∵f(x)在点x可微,0Δyo(Δx)∴Δy=A⋅Δx+o(Δx),∴=A+,ΔxΔxΔyo(Δx)则lim=A+lim=A.Δx→0ΔxΔx→0Δx即函数f(x)在点x可导,且A=f′(x).00(2)充分性∵函数f(x)在点x可导,0ΔyΔy∴lim=f′(x0),即=f′(x0)+α,Δx→0ΔxΔx从而Δy=f′(x)⋅Δx+α⋅(Δx),∵α→0(Δx→0),0=f′(x)⋅Δx+o(Δx),0∵函数f(x)在点x可微,且f′(x)=A.00∴可导⇔可微
5、.A=f′(x).03例1求函数y=x当x=2,Δx=0.02时的微分.解32∵dy=(x)′Δx=3xΔx.2∴dy=3xΔx=0.24.x=2x=2Δx=0.02Δx=0.02通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx=Δx.dy∴dy=f′(x)dx.=f′(x).dx即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.导数也叫"微商".四、微分的几何意义yT几何意义:(如图)No(Δx)当Δy是曲线的纵PΔydyM坐标增量时,dyy=f(x)Δx就是切线纵坐标）α对应的增量.ox0x0+Δxx当Δx很小时,在点M的附近,切线段MP可近似
6、代替曲线段MN.例:已知曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y+1=0,求x=1处的微分.五、微分的求法dy=f′(x)dx求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式μμ−1d(C)=0d(x)=μxdxd(sinx)=cosxdxd(cosx)=−sinxdx22d(tgx)=secxdxd(ctgx)=−cscxdxd(secx)=secxtgxdxd(cscx)=−cscxctgxdxxxxxd(a)=alnadxd(e)=edx11d(logax)=dxd(lnx)=dxxlnax11d(arcsinx)=dxd(arcco
7、sx)=−dx221−x1−x11d(arctgx)=dxd(arcctgx)=−dx221+x1+x2.函数和、差、积、商的微分法则d(u±v)=du±dvd(Cu)=Cduuvdu−udvd(uv)=vdu+udvd()=2vv2x例2设y=ln(x+e),求dy.22xx1+2xe1+2xe解∵y′=,∴dy=dx.22xxx+ex+e1−3x例3设y=ecosx,求dy.1−3x1−3x解dy=cosx⋅d(e)+e⋅d(cosx)1−3x1−3x∵(e)′=−3e,(cosx)′=−sinx.1−3x1−3x∴dy=cosx⋅(−3e)dx+e⋅(−si
8、nx)dx
