2-5 函数的微分(1)

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1、★微分在近似计算中的应用2.5函数的微分★引言★微分的定义☆例2.5.1-例2.5.2☆例2.5.3-例2.5.4☆例2.5.5☆例2.5.6★函数可微的条件★微分的几何意义★微分公式与微分运算法则☆例2.5.7☆例2.5.8★微分的形式不变性☆例2.5.9★内容小结★思考题★练习题前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。返回在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概

2、念——微分。2.5.1微分的定义计算正方形金属薄片受热后面积的改变量。返回实例1:实例2,既容易计算又是较好的近似值问题:这个△x的线性函数返回是否存在于所有函数的改变量中?(即函数改变量的主要部分)它是什么?如何得到?解：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,可表示为如果函数在点x0处的改变量y=f(x0+x)–f(x0)y=Ax+o(x),则称函数y=f(x)在点x0处是可微的,返回微分的定义其中A是与x无关的常数,即且称Ax为函数y=f(x)在点x0处的微分,记做dy,定义2.5.1说明：(1)是自变量的改变量的线性函数；(2)(3)(4)返回

3、y=Ax+o(x),(一次函数)(一次主要部份)返回对比y=Ax+o(x),2.5.2函数可微的条件定理2.5.1返回返回返回返回2.5.3微分的几何意义几何意义:(如图)MT）PNQ返回法则:函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。返回由于我们已经掌握求导数的方法，因此，求微分的方法我们已经基本掌握了。例2.5.1求函数y=f(x)=x2当x由2改变到2.02时的增量和微分。解：由已知条件得:x=2,返回dx=x=0.02,故函数的微分为dy=f'(x)dx函数的增量为当x=2,x=0.02时,=2xdx.例2.5.2解：返回补例:解：返回2.5.

4、4基本初等函数的微分公式与微分运算法则返回将导数公式稍作变形，即得到微分公式。微分公式有其独立的意义和作用。返回1.基本初等函数的微分公式(16+3)法则:函数的导数,乘以自变量的微分。2.微分的四则运算法则(4)返回记忆方法：将导数四则运算法则中，变量右上角的导数符号“'”改为变量前的“d”。注意：乘积关系中，微分部份居后。2.5.5复合函数的微分——微分形式的不变性则复合函数y=f[u(x)]的微分是由于u(x)dx=du,由此可见,无论u是自变量还是中间变量，函数的微分是dy=f(u)du.返回这一性质称为微分形式不变性。设y=f(u)对u可导,当u是自变量时，设

5、y=f(u)及u=u(x)均可导,所以dy=f(u)du.dy=f(u)u(x)dx，微分形式dy=f(u)du保持不变。返回微分方法总结1、求导法：(1)先求出函数y=f(x)的导数f'(x),(2)写出函数y=f(x)的微分dy=f'(x)dx。2、微分法：直接应用微分公式。既可以用导数法求微分，也可以用微分法求导数。——掌握了微分公式之后。例2.5.3解法一：求导法返回解法二：微分法函数微分的两种求法即得到函数微分dy=f'(x)dx2、微分法：两种方法可以灵活选择。(3)复合函数的微分法则(1)基本初等函数的微分公式dy=f'(x)dx--16+3个公式(2

6、)四则运算函数的微分法则导数法则中后'改为前d--4个法则——必须记忆微分法则。1、求导法：先计算函数的导数f'(x),再将结果乘以自变量的微分dx，——不用记忆微分法则套用微分公式:例2.5.4解法一：求导法返回解法二：微分法例2.5.5解法一：等号两边同时求微分，返回要求对隐函数求微分、求导数。应用微分法得两边微分，有例2.5.5解法二：应用取对数法返回两边取对数得+微分法例2.5.5解法三：等号两边同时对x求导，得返回要求对隐函数求微分、求导数。应用求导法例2.5.5解法四：应用取对数法返回在等号两端取对数，得+求导法，在等号两端对x求导，得例2.5.6求dy解返回2

7、.5.6微分在近似计算中的应用（不作要求）1.计算函数点值的近似值返回2.计算函数增量的近似值返回需要镀上0.01cm厚的金属漆,镀一只这样的金属球大例2.5.7有一批半径为10cm的金属球,为了装饰需要，解:由于球体体积为分析：这是求球体V增量△V的近似值dV约需要多少体积的金属漆？返回可知,镀一只这样的金属球,大约需要12.56cm3金属漆。例2.5.8利用微分求sin6030’的近似值解令f(x)=sinx,则f'(x)=cosx,返回分析：这是求函数f(x)在x0+△x处的值f(x0+△x)的近似值例2.