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1、6．4多元函数微分法的应用6．4．1微分在几何上的应用1．空间曲线的切线和法平面设空间曲线G的参数方程为：这里假定都在上可导。在曲线G上取对应于t=t0的一点M0(x0,y0,z0)及对应于t=t0+Dt的邻近一点M(x0+Dx,y0+Dy,z0+Dz).作曲线的割线MM0,其方程为,当点M沿着G趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线.考虑,当M®M0,即Dt®0时,得曲线在点M0处的切线方程为.曲线的切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.向量T=(j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0))就是曲线G在点M0处的一个切向量.法平面:通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线
2、G在点M0处的法平面,其法平面方程为j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0.例1：求曲线的平行于平面的切线方程。解：曲线上任一点处的切向量，平面的法向量，由题设条件有：，即，故=，解得。对应的点有切向量，由于切向量须为非零向量，故无意义舍去；对应的点有切向量，此时切线方程为,对应的点有切向量，此时切线方程为,讨论：1.若曲线G的方程为：y=j(x),z=y(x)，问其切线和法平面方程是什么形式?提示：曲线方程可看作参数方程:x=x,y=j(x),z=y(x),切向量为T=(1,j¢(x),y¢(x)).2.若曲线G的方程为：F(x,y,z)=0,
3、G(x,y,z)=0.问其切线和法平面方程又是什么形式?提示：两方程确定了两个隐函数:y=j(x),z=y(x),曲线的参数方程为x=x,y=j(x),z=y(x),由方程组可解得和.切向量为.例2：求曲线在点处的切线及法平面方程。解：为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得,解方程组得,.在点(1,-2,1)处,,.从而T=(1,0,-1).所求切线方程为：,法平面方程为：(x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0,即x-z=0.另解：为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得.方程组在点(1,-2,1)处化为：,解方程组得,.从而T=(1,0,-1).所求切线方程为：,法平面方程为
4、：(x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0,即x-z=0.2．曲面的切平面与法线设曲面S的方程为：F(x,y,z)=0,M0(x0,y0,z0)是曲面S上的一点,并设函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面S上,通过点M0任意引一条曲线G,假定曲线G的参数方程式为t=t0对应于点M0(x0,y0,z0),且j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0)不全为零.曲线在点的切向量为T=(j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0)).考虑曲面方程F(x,y,z)=0两端在t=t0的全导数:Fx(x0,y0,z0)j¢(t0)+Fy(x0,y0,z0)y¢(t0)+Fz(x0,y0
5、,z0)w¢(t0)=0.引入向量n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)),易见T与n是垂直的.因为曲线G是曲面S上通过点M0的任意一条曲线,它们在点M0的切线都与同一向量n垂直,所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面S在点M0的切平面.这切平面的方程式是Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0.曲面的法线:通过点M0(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为.曲面的法向量:垂直于曲面上切平面的向量称
6、为曲面的法向量.向量n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))就是曲面S在点M0处的一个法向量.例3求曲面在点(1,2,0)处的切平面及法线方程。解：曲面方程改写为则，，在点（1,2,0）处有法向量，所求切平面方程为：，即；法线方程为。讨论:若曲面方程为，问曲面的切平面及法线方程式是什么形式?提示:此时F(x,y,z)=f(x,y)-z.n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1)例4求旋转抛物面z=x2+y2-1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解f(x,y)=x2+y2-1,n=(fx,fy,-1)=(2x,2y,-1),n
7、(
8、2,1,4)=(4,2,-1).所以在点(2,1,4)处的切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0,即4x+2y-z-6=0.法线方程为.例5：设函数可微，试证曲面上任意点处的切平面都通过一定点。练习：求过直线与曲面相切的平面方程。6．4．2多元函数的极值及最大值、最小值1．极值定义设函数在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y),都有f(x,y)
