.多元函数微分法的应用

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6．4多元函数微分法的应用6．4．1微分在几何上的应用1．空间曲线的切线和法平面设空间曲线G的参数方程为：这里假定都在上可导。在曲线G上取对应于t=t0的一点M0(x0,y0,z0)及对应于t=t0+Dt的邻近一点M(x0+Dx,y0+Dy,z0+Dz).作曲线的割线MM0,其方程为,当点M沿着G趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线.考虑,当M®M0,即Dt®0时,得曲线在点M0处的切线方程为.曲线的切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.向量T=(j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0))就是曲线G在点M0处的一个切向量.法平面:通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线G在点M0处的法平面,其法平面方程为j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0.例1：求曲线的平行于平面的切线方程。解：曲线上任一点处的切向量，平面的法向量，由题设条件有：，即，故=，解得。对应的点有切向量，由于切向量须为非零向量，故无意义舍去； 对应的点有切向量，此时切线方程为,对应的点有切向量，此时切线方程为,讨论：1.若曲线G的方程为：y=j(x),z=y(x)，问其切线和法平面方程是什么形式?提示：曲线方程可看作参数方程:x=x,y=j(x),z=y(x),切向量为T=(1,j¢(x),y¢(x)).2.若曲线G的方程为：F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.问其切线和法平面方程又是什么形式?提示：两方程确定了两个隐函数:y=j(x),z=y(x),曲线的参数方程为x=x,y=j(x),z=y(x),由方程组可解得和.切向量为.例2：求曲线在点处的切线及法平面方程。解：为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得,解方程组得,.在点(1,-2,1)处,,.从而T=(1,0,-1).所求切线方程为：,法平面方程为：(x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0,即x-z=0.另解：为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得 .方程组在点(1,-2,1)处化为：,解方程组得,.从而T=(1,0,-1).所求切线方程为：,法平面方程为：(x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0,即x-z=0.2．曲面的切平面与法线设曲面S的方程为：F(x,y,z)=0,M0(x0,y0,z0)是曲面S上的一点,并设函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面S上,通过点M0任意引一条曲线G,假定曲线G的参数方程式为t=t0对应于点M0(x0,y0,z0),且j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0)不全为零.曲线在点的切向量为T=(j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0)).考虑曲面方程F(x,y,z)=0两端在t=t0的全导数:Fx(x0,y0,z0)j¢(t0)+Fy(x0,y0,z0)y¢(t0)+Fz(x0,y0,z0)w¢(t0)=0.引入向量n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)),易见T与n是垂直的.因为曲线G是曲面S上通过点M0的任意一条曲线,它们在点M0的切线都与同一向量n垂直,所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面S在点M0的切平面.这切平面的方程式是Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0.曲面的法线:通过点M0(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为.曲面的法向量:垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.向量n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))就是曲面S在点M0处的一个法向量. 例3求曲面在点(1,2,0)处的切平面及法线方程。解：曲面方程改写为则，，在点（1,2,0）处有法向量，所求切平面方程为：，即；法线方程为。讨论:若曲面方程为，问曲面的切平面及法线方程式是什么形式?提示:此时F(x,y,z)=f(x,y)-z.n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1)例4求旋转抛物面z=x2+y2-1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解f(x,y)=x2+y2-1,n=(fx,fy,-1)=(2x,2y,-1),n|(2,1,4)=(4,2,-1).所以在点(2,1,4)处的切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0,即4x+2y-z-6=0.法线方程为.例5：设函数可微，试证曲面上任意点处的切平面都通过一定点。练习：求过直线与曲面相切的平面方程。6．4．2多元函数的极值及最大值、最小值1．极值定义设函数在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y),都有f(x,y)f(x0,y0)),则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0).极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例1函数在点(0,0)处有极大值.当(x,y)=(0,0)时,z=0,而当(x,y)¹(0,0)时,z<0.因此z=0是函数的极大值. 例2函数z=xy在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.以上关于二元函数的极值概念,可推广到n元函数.设n元函数u=f(P)在点P0的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于P0的点P,都有f(P)f(P0)),则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0).定理1(必要条件)设函数在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.证明不妨设在点(x0,y0)处有极大值.依极大值的定义,对于点(x0,y0)的某邻域内异于(x0,y0)的点(x,y),都有不等式f(x,y)0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;(2)AC-B2<0时没有极值;(3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值.极值的求法:第一步解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求得一切实数解,即可得一切驻点.第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B和C.第三步定出AC-B2的符号,按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值.例3：求函数的极值。解解方程组,解得驻点为，，。再求出二阶偏导数，，在点处有，又，故为极小值；在点处有，又，故为极小值；在点处有，定理2失效，此时可根据极值的定义来判别，即讨论函数在点附近的取值情况。在点的某个邻域内，若令则有，若令则有，因而不是极值点。例4：求的极值点和极值。解：解方程组，得驻点，（k为整数）。 二阶偏导数，，对有，且，故为极大值点，极大值为2；对有，故不是极值点。注：上述结果说明该可微函数有无穷多个极大值点，但没有一个极小值点，这也是多元函数和一元函数的区别之一。2．最值如果f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上.我们假定,函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点,这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值),那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是:将函数f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值(最小值).例5某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时,才能使用料最省.解设水箱的长为xm,宽为ym,则其高应为m.此水箱所用材料的面积为.令,,得x=2,y=2.根据题意可知,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并在开区域D={(x,y)|x>0,y>0}内取得.因为函数A在D内只有一个驻点,所以此驻点一定是A的最小值点,即当水箱的长为2m、宽为2m、高为m时,水箱所用的材料最省.从这个例子还可看出,在体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小.例6有一宽为24cm的长方形铁板,把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解设折起来的边长为xcm,倾角为a,那末梯形断面的下底长为24-2x,上底长为24-2x×cosa,高为x×sina,所以断面面积,即A=24x×sina-2x2sina+x2sinacosa(0