多元函数微分法及其应用 多元函数微分法在几何上的应用课件.ppt

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1、第四节多元函数微分法在几何上的应用一空间曲线的切线与法平面二曲面的切平面与法线1一空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.21.曲线方程为参数方程的情况如果(1)式中的三个函数均有连续导数.且则称此曲线为光滑曲线。设空间曲线的方程3切线方程切线的方向向量:称为曲线的切向量.也是法平面的法向量,因此得法平面方程4说明:若引进向量函数,则为r(t)的矢端曲线,处的导向量就是该点的切向量.5例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平

2、面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在,故6解切线方程法平面方程，,在处的切线和法平面方程.例2求曲线72.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为8则在点切线方程法平面方程有或9也可表为法平面方程10所求切线方程为法平面方程为11例4求曲线平行于平面的切线方程。解设切点对应的参数为则切向量为由于所求切线平行于已知平面，即或即和已知平面的法向量垂直，所以12切点为切向量为切线方程为或13曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过定点二曲面的切平面与法线如果连续且则

3、称该曲面为光滑曲面的光滑曲线设曲面方程为14切线方程为下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:在上,得15令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的切平面的法向量16法线方程切平面方程17曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令18法向量用将的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则法向量向上,19切

4、平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为20解切平面方程为法线方程为21解令切平面方程法线方程22解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得法向为23因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)24例8证明曲面上任意一点处的切平面和三坐标面所围的四面体的体积为定数。解设为曲面上任意一点，则在点处切面的法向量为且切面方程为化为截距式所以25