多元函数微分法的几何应用

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1、第四节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面时，对应点为时，对应点为考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为割线的方向向量为曲线在M处的切线方程割线的方程为切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M0点且与切线垂直的平面.曲线在M0处的切线方程切线方程及法平面方程。例1求曲线在点的解求导方向向量的各分量故切线方程为法平面方程为1.空间曲线方

2、程为法平面方程为特殊地：将x作为参数2.若曲线的方程为F(x,y,z)0,G(x,y,z)0,则切向量T?两方程可确定两个隐函数:yj(x),zy(x).切向量为T(1,j(x),y(x)),而j(x),y(x)要通过解方程组得到.提示:切线方程及法平面方程。例2求曲线在点的解化曲线方程为参数方程方向向量的各分量故切线方程为法平面方程为例3.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.解方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量例4.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切

3、线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在,故设曲面方程为曲线在M0处的切向量在曲面上任取一条通过点M0的曲线二、曲面的切平面与法线把曲线的参数方程代入曲面方程两边求关于t的导数，得得已知令取得则切平面方程为曲面在M0处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.及法线方程。解例1求球面在点（1,2,3）处的切平面法向量切平面方程法线方程特殊地：空间曲面方程形为曲面在M0处的法线方程为令法向量曲面在处的切平面方程为或解切平面方程为法线方程为解令法线方程为例3曲面在点处的法向量例4解由题意可得求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向

4、向量为由此得切线:法平面:即与法平面.例51.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量三、小结空间曲线方程为法平面方程为2)特殊将x作为参数空间光滑曲面曲面在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线空间光滑曲面法线方程2)显式情况.法向量曲面在处的切平面方程为解令切平面方程法线方程解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)思考题2.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上

5、任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此3.设f(u)可微,可以证明原点坐标满足上述方程.点的法向量切平面方程为思考题3.设f(u)可微,证明曲面上任一点处的3.设f(u)可微,证明曲面上任一点处的3.设f(u)可微,切平面都通过原点.证明曲面上任一点处的3.设f(u)可微,