多元函数微分法在几何上的应用.ppt

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1、§8.4多元函数微分法在几何上的应用一空间曲线的切线与法平面二曲面的切平面与法线1CH1_一空间曲线的切线与法平面1空间曲线C的方程为设点它所对应的参数是，则曲线C在点M处的切线方程是其中称为曲线C在点M处的切向量。2CH1_证设点P的坐标是它所对应的参数是，则割线MP的方程是可改写为让即便有3CH1_曲线C在点M处的法平面是过点M且垂直于切线的平面，它的方程为4CH1_例1求螺旋线在点处的切线与法平面方程。解点所对应的参数为因此螺旋线在点处的切向量为所以切线方程是法平面方程是即5CH1_解所以切线方程是法平面方程是在处的切线与法平面方程。例2求曲线因此切向量即6CH1_2空间曲

2、线C的方程为不妨设确定则曲线C在点处的切向量是7CH1_例3求曲线在点处的切线方程。解，解得因此曲线在点处的切向量所以切线方程是8CH1_例4求曲线在点处的切线方程。解方法一，解得因此曲线在点处的切向量所以切线方程是9CH1_方法二曲线的一般方程可以化为参数方程因此曲线在点处的切向量所以切线方程是10CH1_二曲面的切平面与法线1曲面的方程为设点则曲面在点处的切平面方程是其中称为曲面在点处的法向量。11CH1_证在曲面上任意做一条过点的曲线，不妨设曲线的方程为点所对应的参数为，则曲线在点处的切向量是由于所以两边对求导得特别取有12CH1_即这说明曲面上任意过点的曲线在点处的切线是

3、在同一个平面上，且这个平面的法向量是，这个平面就是曲面在点处的切平面。13CH1_曲面在点的法线是过点垂直于切平面的的直线，它的方程是14CH1_例5求曲面在点处的切平面与法线。解记则切平面方程是即法线方程是15CH1_2曲面的方程为曲面在点处的法向量为或者（指向向下）（指向向上）切平面方程（可据此方程解释全微分的几何意义）16CH1_例6求曲面在点处的切平面方程。解切平面方程是即17CH1_解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得法向量为例7求曲面平行于平面的切平面方程。18CH1_因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2

4、)19CH1_例8证明曲面上任意一点处的切平面和三坐标面所围的四面体的体积为定数。解设为曲面上任意一点，则在点处切面的法向量为且切平面方程为化为截距式所以20CH1_注：空间曲线C的方程为（曲面）（曲面），则空间曲线C在点M处的切向量可以取为这两个曲面的法向量的向量积，即21CH1_