多元函数微分法的应用.ppt

《多元函数微分法的应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六讲多元函数微分法的应用一、多元函数微分学的几何应用二、方向导数与梯度三、多元函数的极值及其求法1、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法机动目录上页下页返回结束位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停一、几何应用(1).曲线方程为参数方程的情况切线方程机动目录上页下页返回结束切线的方向向量:称为曲线的切向量.法平面方程例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在机动目录上页下页返回结束,故(2)曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点处的切向量为例3.求曲线在点M(1,–

2、2,1)处的切线方程与法平面方程.解令则切向量机动目录上页下页返回结束切线方程即法平面方程即2、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点任意引光滑曲线可以证明:此平面称为在该点的切平面.机动目录上页下页返回结束上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.过点M与切平面垂直的直线称为法线曲面在点M的法向量法线方程切平面方程复习目录上页下页返回结束时,则在点法线方程令特别,当光滑曲面的方程为显式切平面方程机动目录上页下页返回结束的法向量例4.求曲面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以曲面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令机动目录上页下页返回结束思考与练

3、习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则机动目录上页下页返回结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)2.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.机动目录上页下页返回结束1、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:机动目录上页下页返回结束记作二、方向导数与梯度定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得机动目录上页下页返回结束故机动目录上页下页返回结束对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向

4、•当l与x轴反向向角例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:向量l的方向余弦为例2.求函数从点P(1,0)到点的方向导数.解:机动目录上页下页返回结束2、梯度方向导数公式令向量说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值机动目录上页下页返回结束定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明:的方向为函数增大最快的方向向量例3.设函数求梯度解:例4.设函数求函数在点增加最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。解:沿梯度方向函数增加最快所求方向为例5.设函数(1)求函数在点M

5、(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度机动目录上页下页返回结束解:(1)曲线在点M(1,1,1)处切线的方向向量机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数三、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动目录上页下页返回结束1、极值的定义及求法说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极

6、值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动目录上页下页返回结束时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动目录上页下页返回结束例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下页返回结束

7、第二步求驻点定解第一步找目标函数,确定定义域2.函数的最值问题机动目录上页下页返回结束第三步由问题的实际背景可知最值在区域内部取得,且只有一个驻点P时,则为最小值(大)例2.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时