多元函数微分习题(1)

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1、多元函数微分法及其应用同步测试（2009年4月）注:红色的题目超出范围,不做.测试1一、填空题（3分×4=12分）1、设，则。2、。3、设，则。4、曲线在点处的切线方程为。二、选择题（4分×3=12分）1、设有二元函数则[]。A、存在，在(0,0)处不连续；B、不存在，在(0,0)处不连续；C、存在，在(0,0)处连续；D、不存在，在(0,0)处连续。2、函数在连续是在各一阶偏导数存在的[]。A、必要条件；B、充分条件；C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。3、点的函数的[]。A、极小值点；B

2、、驻点但非极值点；C、极大值点；D、最大值点。三、计算题（6分×5=30分）1、设求各一阶偏导数。2、设，求此函数在点处的全微分。3、设由方程所确定，求。4、设，式中具有各二阶连续导数，求(有些难度,可不做)5、设具有各二阶连续偏导数，求和。(有些难度,可不做)四、综合题（8分×4=32分）1、设直线在平面上，而平面与曲面相切于点M(1,-2,5)，求的值。102、设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数在点P处沿方向的方向导数。3、试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小

3、。4*、研究函数是否有极值。五、证明题（7分×2=14分）1*、设函数试证：在P(0,0)处不可微分。2、设都具有连续的一阶和二阶各偏导数，且证明：。测试2一、填空题（3分×4=12分）1、设则。2、设，则。3、设函数由方程所确定，则全微分。4、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为。二、选择题（4分×3=12分）1、函数在(0,0)点处[]。（A）极限值为1；（B）极限值为-1；（C）连续；（D）无极限。2、在处，存在是函数在该点可微分的[]（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充要条件；（D）

4、既非必要亦非充分条件。3、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是[]（A）；（B）；（C）；（D）三、计算题（6分×5=30分）1、设求和。2、设，具有连续的二阶偏导数，可导，求。(选做)103*、设确定函数，求。4、设，式中二阶可导，求5、设各函数都具有连续的一阶偏导数，且，求。四、综合题（8分×4=32分）1、利用变换把方程化简为，试求的值。2、求曲线，在点处的切线方程。3、求函数在点处，从指向(2,1,-1)方向的方向导数，并求函数在点处的最大方向导数。4*、试求底边平行于椭圆的长轴的内

5、接等腰三角形面积的最大值。五、证明题（7分×2=14分）1、试证：曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中连续可导。2、试证：在点(0,0)处连续，偏导数存在，但是不可微分。测试题答案测试1一、1、；2、0；3、4、二、1、B2、D3、B三、1、由于极限不存在，故不存在，而当时，有，2、，在给定点处，两偏导数均连续，故该函数在此点可微分。又由于，故所求全微分为3、利用微分形式不变性，在所给方程10两端取微分，则有当时，有4、，5、四、1、曲面在点M(1,-2,5)处切平面的法向量为故即将直线

6、L写成对称式方程，有进一步写成参数式，有代入平面中，有即解出2、10所求方向导数为3、设三个正数为，则，记，令则由解出4、由解出驻点P(1,1)。又则故因此P(1,1)不是极值点，又驻点惟一，故该函数无极值。五、1、10若依取极限，则此极限不存在，也就是说在P(0,0)处，有即函数在P(0,0)处不可微分。2、故测试2一、1、1；2、；3、；4、；二、1、D；2、A；3、C三、1、由于不存在，故不存在，同理，也不存在。当时，有2、103、将所给每个方程两边分别对与求偏导，并注意是，的函数，有解出

7、：4、记，则，类似地，有于是式中。5、解得四、1、10将以上各式代入方程之中，得为使，当且仅当解出2、选为参数，把写成于是，切向量为在给定点处所求切线方程为或3、所求方向导数为函数在点处最大方向导数就是沿着梯度方向的方向导数，其最大值就是梯度的模，有104、将椭圆化成标准方程，有如图8-3所示三角顶点为A(0,2)，另外两顶点和，此处。图8-3于是的面积为限制条件为令，则由解出(3,-1)是惟一驻点，也是S最大值点，最大值为五、1、曲面在任一点处的切平面的法向量为定直线L的方向向量若为，则，即则

8、曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。2、因为，故而，因此函数连续性得证。类似地，有，可见两偏导数在(0,0)处都存在若在(0,0)处可微，则而当时，有10由此可见函数在(0,0)处不可微分。10