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1、第八章多元函数微分法一、学习目的与要求1、加深理解多元函数、偏导数、全微分的概念,知道二元函数的极限,连续性概念。2、掌握复合函数求一、二阶偏导数的方法。3、掌握由方程及方程组所确定的隐函数求偏导数的方法。4、会求空间曲线的切线方程和法平面方程、曲面的切平面方程和法线方程。5、了解方向导数与梯度的概念,并掌握它们的计算方法。6、熟练掌握求极值的方法，其中包括:建立目标函数(这是难点),并初步学会简化目标函数,求出驻点并判断它是否为极值点,是极大值还是极小值,并求出极值。7、熟练掌握求条件极值的拉格朗日乘数法,及如何简便地解方程组。二、学习重点多元复合函
2、数求偏导数偏导数的几何应用和多元函数的极值三、内容提要1、基本概念（I）二元函数的定义设D为平面上的某个点集，若对D中的每一个点，变量都有唯一确定的实数值与之对应，则称是的函数，记做或.称为自变量，为因变量，D为定义域。（II）二元函数的极限任给存在，使当时，恒有（III）二元函数的连续性设函数在点的某邻域内有定义，若，则称在点连续。（IV）二元函数的偏导数设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称此极限为函数在点处对于自变量的偏导数，记做或同理可定义：21（V）二元函数的全微分若函数在点处的全增量可表示为，其中是与无关的常数，，则称函数在点处可微，
3、称为函数在点处的全微分，记做，即.当在点处可微时，有（VI）二元函数的方向导数设函数在点的某邻域内有定义，则它在点处沿方向（设轴到方向的转角为）的方向导数定义为，其中,当在点处可微时,有.(VII)多元函数的梯度函数在点的梯度定义为，方向导数与梯度的关系为,其中为方向的单位矢量.2、复合函数与隐函数微分法(I)多元复合函数微分法设都在点处具有对和的偏导数,在其对应点处可微,则复合函数在点处的两个偏导数均存在,且(II)隐函数微分法由一个方程确定的隐函数：设是可微函数,若由方程=0确定了隐函数,则当时,有,21.由方程组确定的隐函数：方程组确定了隐函数,
4、则可通过的线性方程组表示:用克莱姆法则求解.同理可求出3、多元函数微分学的应用(I)偏导数在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面1、设空间曲线L的参量式方程为：令,可得到L上一点,则曲线在该点的切线与法平面方程分别为：,2、设空间曲线L的一般式方程为，记则曲线在的切线与法平面方程分别为：。(2)曲线的切平面与法线1、设曲面S由显式方程给出,则曲面在21处的切平面和法线方程分别为：，2、设曲面S由隐式方程给出,则曲面在处的切平面方程和法线方程分别为，(II)多元函数的极值(1)极值的定义若对点的某去心邻域内的任何点,恒有(或),则称 为的一个极大（小
5、）值。（２）极值的必要条件若函数在点存在偏导数且达到极值，则必有。（３）二元函数极值的充分条件设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，且。若记（i）若(或)，为极大值点;（ii）若(或)，为极小值点;（iii）若,不是极值点。（４）条件极值函数在约束条件下取得极值的必要条件为其中称为拉格朗日函数。（５）最大值与最小值的求法设函数21在有界闭区域Ｄ上连续，将Ｄ内临界点的函数值与Ｄ的边界上的最大，最小值比较即得（这里临界点是指驻点与偏导数不存在的点）。对实际问题，若根据问题的性质，已知函数在区域Ｄ内能取得最值，且函数Ｄ内驻点唯一，则该驻点处的值即为所求。（
6、III）全微分在近似计算中的应用近似计算公式当充分小时，可微函数满足绝对误差与相对误差绝对误差相对误差四、思考题1、当点沿无穷多条(平面)曲线趋向于点时，都趋向于A，是否存在？２、二元函数在某点连续，在该点二重极限是否存在？反之呢？３、二元函数在某点连续，偏导数存在，可微之间有什么关系？与一元函数进行比较，有哪些异同？４、设函数在点有偏导数，函数在对应点有连续偏导数，下列表达式哪些是对的？（1）（2）。（3）。５、设，试说明公式中等号两端的和有什么区别？６、若函数的二阶混合偏导数与都存在，能不能断定=21？考察在点（0，0）处的两个二阶混合偏导数。７、
7、设空间曲线的参数方程为，则在点处的切线方程为，对吗？８、已知曲面方程为，在曲面上点处的切平面方程和法线方程分别为及，对吗？９、若在点处满足，则点为的极值点对吗？反之，若为的极值点，则必有，对吗？１０、设有函数，求满足条件及的条件极值的主要步骤是怎样的？五、典型例题分析例1已知（１）讨论函数的连续性；（２）求一阶偏导数；（３）求全微分。分析这是多元分段函数．①当时，为初等函数，在其定义域内点各点均连续,且应按求偏导数和全微分的法则求其偏导数和全微分。②当（在点处）时，应按多元函数在一点连续、可导、可微的定义来进行讨论。解（1）当时，处处连续.当时，若动点
8、沿直线21趋向于（为任意常数），有；若动点沿曲线趋向于点，有。所以不存在，从而在点不连续。（2
