多元函数微分法讲义

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1、多元函数微分法讲义第十章多元函数微分学§10.1　多元函数：一、平面点集1、定义：把全体有序实数对组成的集合，称为二维空间，记为（或），（实际上这里的二维空间的概念就是解析几何中的二维空间概念）。下面我们看一看这里的二维空间有一个什么样的几何意义，显然都唯一对应着直角坐标平面的一个点，反之然，∴中的有序数对与直角平面上的点是一一对应的，它们的本质是一样的，可以不加区别，所以：可以把看成直角坐标平面，坐标平面也可以看成是二维空间，以后把叫点的坐标，而把看成是平面全体点的集合.2、平面上两点的距离（由解析几何知：）：设中的两点　，则称叫P1与P2两点间的距离.···有

2、叫三角不等式.请同学们回忆：数轴上邻域的概念（一维空间的领域）：3、定义2：设，以点为中心，为半径的全体点组成的集合：叫以点为中心，为半径的圆形领域记为：即·从几何上看：圆形领域就是平面上的一个开圆：讨论：集合表示一个什么图形？以为中心，为边长的开矩形的全体点组成的集合叫以为中心的半径的方形邻域.∵圆中有方，方中有圆，∴方形领域与圆形领域是等价的.∴以后在证明题目时，可以取圆形领域，也可以取方形领域，都一样.把圆形领域和方形领域统称为为心，为半径的领域，记为.去掉邻域中心后的集合叫去心领域，记为.讨论：去心领域怎样表示：圆形去心领域，方形去心领域：当不需指出半径时

3、，领域可简写为有了领域的概念后，就可以定义两个特殊的概念：开区域和闭区域。3、定义3：设是平面点集，是平面上一点。1）若，有，则称是的内点。2）若，内既含有中的点，同时又含有不属于的点，则称是的界点，并把全体界点组成的集合叫点集的边界.1）讨论：的内点和界点的区别在哪里？内点是，存在一个正数，使以为中心为半径的领域完全包含在中，若有中的点同时也有不属于的点就是界点讨论：下面点是内点还是界点，为什么？2）的界点有多少个？都属于吗？的边界是否属于？（）（2）（1）···3）若，领域内含有的无限多个点，则称点叫的聚点，（讨论如上图，内点是不是聚点？界点呢？（不一定！）聚

4、点是否一定属于？）4）若，使，则称是有界点集，否则叫无界点集。讨论：下面点集是有界点集还不是无界点集？1）＝2）第一象限：＝3）＝4、定义：设是平面点集：（开、闭区域统称为区域）1）若的任意点都是的内点，且的任意两点都能用属于的折线连接起来（称的连通性）则称是开区域。（如上图）2）由开区域和它的边界构成的区域G的闭区域。讨论：下列点集是不是开或闭区域。并指出它的有界性和内点、聚点和界点。1）＝（开区域，有界…）2）＝3）＝4）＝（闭区域，无界）5）＝（不是区域（—？没有内点；只有界点集）6）＝（∵是区域的边是，∵表示抛物线下方全体点组成的点集，不含边界）5、有界区

5、域的直径：设是有界区域，把叫有界区域的直径，记为：：.讨论：下列点集的直径（）＝？1）＝2）长方形：＝3）是无界区域（没有直径）　　4）,.注：上面的定义及定理（概念）可以推扩到n维空间上去.例：描绘下列点集，并指出开、闭性，有界性，聚点、界点及边界。2）＝3）＝1）＝解：1）是二维空间的点集，∵，∴点集的边界是（是无界闭区域）2）是二维空间的点集，边界是曲面，∴是椭球内部的点，不含托球面上的点，是有界开区域.3）是的点集，边界是三个坐标面及平面，∴是这四个面围成的四面体的全体点，是有界闭区域。作业Ｐ152　　1、5二多元函数1.二元函数定义：设是二维空间的非空子

6、集，若，按某一对应法则，都唯一的对应着一个实数，，则称对应法则是定义在上的一个二元函数记为，。把叫的定义域，全体函数值组成立集合：叫函数的值域。例如：是定义在闭圆的一个二元函数。2.二元函数的图像设二元函数的定义域为，显然是是平面上的一个点集。，都对应着一个函数值，于是就确定了中的一个点，当在中变化时，就得到了中的若干个点，把这些点组成的集合叫函数的图象。一般地二元函数的图象是中的一块曲面。例：判别下列函数的图象是什么图形1）（∵）闭圆上的上半球。2），，∴是在三个轴上截距为的一个平面。当自变量是三个时，叫三元函数，…是个时叫元函数（见P144定义），.把二元和二

7、元以上的函数叫多元函数。为什么要把函数分为一元和多元呢？因为一元函数过渡到二元函数时，有些性质要发生变化，但从二元过渡到三、…多元函数时，性质就完全一样了.我们知道二元函数的定义域是中的一个点集，其图象是的一块曲面（一般情况下）三元函数的的定义域是的一个一个立体，而函数的图象是的一个点集，没有同和何模型.例：求下列多元函数的定义域，并指出定义域所表示的图形，1）　　2）3）解：1）定义域是上以为边界（不包含边界）的半平面2）∵　　∴　∴是上以为中心1与2为半径的闭圆环。3）∵＝是上以球面为边界的开球体。例：已知求作业：Ｐ143　　9,10,11,123.二元函数的

8、极限在一元