多元复合函数微分法

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1、高等院校非数学类本科数学课程——多元微积分学大学数学（三）脚本编写：彭亚新课件制作：彭亚新第五讲多元复合函数微分法主讲教师：彭亚新第一章多元函数微分学第五节多元复合函数微分法熟悉多元函数全导数的概念和计算方法。熟练掌握复合函数的链导法则。能熟练地、准确地计算二、三元复合函数的导数。了解全微分形式不变性。本节教学要求：请点击第五节多元复合函数微分法一.全导数三.全微分形式不变性二.链导法则多元函数经复合运算后,一般仍是多元函数,但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法,复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.一.全导数下面看另一种解法.例解例解你能由此

2、猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？+将例中的情形进行一般性的描述由此可推至一般的情况(全导数公式)定理+全导数公式图示(全导数公式)现在证明定理定理从而由一元函数导数导定义,取的极限:给x以增量,相应地有证由可导,故必连续,从而时,定理获证为什么取绝对值?设,求令则例解设以下函数满足定理的条件,写出二元和三元函数的全导数公式:请同学自己写例开始对答案你做对了吗?一般多元复合函数的求导法则二.链导法则假设所有出现的函数求导运算均成立,试想一下如何求下面函数的导数：将y看成常数将x看成常数分别将x,y看成常数,按全导数公式求导,而在具体运算时,实质上又是求多元函数的偏导数.从上面的作法可以看出,

3、将复合的多元函求函数偏导数.全导数公式求导,在具体求导过程中实质上是数中其余的变量看成常数,对某一个变量运用你能由此得出多元复合函数的求导法则吗?定理设在点对应点可微,则复合函数在点处可导,且处均可导,且在m个n元函数一个m元函数一个n元函数定理设在点对应点可微,则复合函数在点处可导,且处均可导,且在m个n元函数一个m元函数一个n元函数该定理可视为全导数定理的推广:看成常数,运用全导数公式,将求导记号作相应改变即可证明该定理.将诸设满足定理的条件,则有例设求例解设求例解设求令则关于u的一元函数例解设求自己做例解设其中求令则例解设函数均可微,求gg例解设函数均可微,求gg例解记得吗?一元函数

4、的微分有一个重要性质：一阶微分形式不变性对函数不论u是自变量还是中间变量,在可微的条件下,均有三.全微分形式不变性对二元函数来说,在可微的条件下,f的全微分总可写为：不论x和y是自变量还是中间变量,详细的推导过程请同学自己看书.设不论是自变量还是中间变量,在可微的条件下,均有一般说来:设应用全微分形式不变性求与比较,得例解设应用全微分形式不变性求与比较,得例解