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1、第四节多元复合函数微分法复合函数微分法隐函数的微分法一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,在点(x,y)可导,则复合函数且有链式法则例1设解例2求的偏导数解1.只有一个自变量设z=f(u,v),u=φ(x),v=ψ(x),则复合函数z=f[φ(x),ψ(x)]的导数为这里z=f(u,v)是u,v的二元函数,而u,v都是x的一元函数,则z=f[φ(x),ψ(x)]是x的一元函数,这时复合函数对x的导数称为全导数.例3设求全导数解2.中间变量和自变量多于两个的情形若u=φ(x,y,z),v=ψ(x,y,z),则复合函数ω=f(u
2、,v)=f[φ(x,y,z),ψ(x,y,z)]的偏导数为例4设解3.特殊情形若z=f(u,x,y),u=φ(x,y),则复合函数z=f[φ(x,y),x,y]可看作是v=x,t=y的特殊情形,此时x,y既是自变量,同时又与u一起形成中间变量u,x,y.因此在上式中表示复合函数 对自变量x(或y)的偏导数；而表示函数对中间变量x(或y)的偏导数，此时，u,x,y皆为中间变量，求时，把中间变量u,y(或x)看成常数，所以与的意义是不同的，不可混淆。例5解二、隐函数的微分法例8.设解法1利用隐函数求导再对x求导解法2利用公式设则两边对x求偏导例
3、9.设解:例10.解:例11.设求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见,引入记号例12.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则(当在二、三象限时,)例13.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知极坐标系下的形式(1),则已知注意利用已有公式同理可得多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分
4、叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,两边对x求偏导同样可得则内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思考与练习设求提示:雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及
5、数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.
