一类二阶三点边值问题和拓扑作用函数的研究

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1、摘要一类二阶三点边值问题和拓扑作用函数的研究贺强专业基础数学指导教师史少云多点边值问题是一类典型的非线性问题，它广泛地出现在物理、工程、生物等众多领域，可用于刻画多点支持桥梁、弹性稳定性理论以及有部分不同密度组成均匀截面的悬链线等现象。本论文的第一部分主要研究一类多点边值问题，内容包括：一、多点边值问题解的存在性以及解的相关性质；二、由于此类问题一般无法求出解析解，我们给出一些有效的数值解法。第一部分主要研究多点支持桥梁所满足的二阶三点边值问题我们分别在共振和非共振情形证明了此类问题无穷多解的存在性，并针对具体问题提出了有效的数值解法。多点支持桥梁满足以下二阶三点边

2、值问题：¨αβλ其中λ≥β∈α·β∈我们分别考虑了以下三种情况：α·βλα·βλα·βλ通常称条件为共振条件而称条件和为非共振条件定义称函数∈为的下解如果满足¨≤≤αβ≤λ定义称函数∈为的上解如果满足¨≥≥αβ≥λ引理定理假设以下三个条件同时成立λ≥β∈··是定义在×上的实函数且满足对每一个确定的∈·在上是可测的·在∈上是几乎处处连续的对任意给定的都存在一个函数∈使得≤∈∈其中∈∥∥≤∞是完备的空间∫δ∫∥∥δ有下解和上解且当∈时≤则边值问题存在一个解且≤≤我们首先利用上下解方法来证明二阶三点边值问题无穷多解的存在性，然后利用打靶法将边值问题转化为初值问题，再利用牛

3、顿迭代法来进行数值求解，最后给出相应的数值模拟，从而验证了该方法的有效性及可行性。第一部分的主要结构如下：第一章是研究背景及现状。在节中，简要介绍了多点边值问题的应用背景；节中针对二阶三点边值问题解的存在性以及求解此类问题的数值解法，概述了相应的研究历史以及研究现状在节中，简述了本文的主要工作。第二章研究二阶三点边值问题解的存在性问题。首先简要介绍了研究二阶三点边值问题所需要的基本概念及其相关结果，然后利用上下解的方法，针对不同实际问题证明了二阶三点边值问题无穷多解的存在性。第三章提出了一种求解二阶三点边值问题的有效数值解法，并针对具体问题给出了相应的数值模拟，进而

4、验证了该方法的有效性和正确性。第二部分主要研究拓扑作用函数。在文献中王俭将经典的作用函数推广到了哈密顿同胚映射情形其中是亏格大于等于的有向闭曲面上的一个同痕的时间映射他对测度也进行了推广但是推广后的测度没有原子即该测度在该集合上没有单点具有正测度在的可缩不动点上且的可缩不动点的缠绕数的集合满足某一种有界性条件即测度有全支集情形我们针对王俭结果的一种特殊情形给出一个简单证明王俭推广的经典作用函数的结果叙述如下定理设是一个亏格≥的有向闭曲面是上的恒等同痕的时间映射假设μ∈在集合上没有原子（即该测度在该集合上没有单点具有正测度）并且满足ρμ则经典的作用函数可推广到如下情形

5、：是一个微分同胚映射不必是满足性质且测度μ具有全支集满足性质且测度μ是遍历的本文将给出上述定理中第二种情形的一个简单的证明，从而使得人们能更容易的理解推广的拓扑作用函数。第二部分的主要结构如下第四章主要介绍拓扑作用函数的研究背景及现状，并阐述了我们的主要结果。在第五章中我们介绍一些符号，基本概念和同胚理论的一些重要结果。特别介绍弱有界性和正常返点上的缠绕数的定义。第六章阐述辛几何中的经典作用函数，并将其推广到一种简单的情形。然后，基于一个关键的命题，我们将作用函数推广到更一般的情况。具体来说，得到以下结果：定理主要结果设是一个亏格≥的有向闭曲面是上的恒等同痕的时间映

6、射假设μ∈在集合上没有原子具有全支集并且满足ρμ如果满足性质那么拓扑作用函数是良定义的最后给出证明定理需要的一个关键命题的证明。命题主要命题假设是上的一个μ辛映射它相应的同痕满足弱有界性条件假设μ在上没有原子那么对的任意两个不同的不动点和以及对几乎每一个常返点存在且有界并且这个界只依赖于和关键词三点边值问题共振与非共振条件上下解方法辛作用函数拓扑作用函数AbstractThestudyonaclassofthesecond-orderthreepointsboundaryvalueproblemandthetopologicalactionfunctionHeQia

7、ngMajor:FundamentalMathematicsAdvisor:Prof.ShiShao-yunInrecentyears,themulti-pointboundaryvalueproblemoccurswidelyinmanyfelds,suchasphysics,engineering,biology,etc,whichcommonlyusedtodescribethesupportmulti-pointbridge,theelasticstabilitytheory,andthevibrationsofaguywireofuniformcros