一类非线性二阶常微分方程边值问题有效解法

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1、摘要本文主要分为两个部分，首先证明了非线性常微分方程初值问题Ｊ∥（ｚ）＝，（茁ｍ可，），８≤ｚ≤ｂｌ”（ｎ）＝＆，Ⅳ协）：ｍ在满足（１），及筹，券在区域Ｑ＝｛（ｚ，Ｙ，Ｙ’）ｌａ≤ｚ≤ｂ，一００＜Ｙ，Ｙ７＜。。｝内连续（３）存在常数Ｍ，使得ｏ＜！且詈产≤Ｍ，Ｖ（ｘ，Ｙ，Ｙ’）∈Ｑ时是关于ｍ严格单调增加的，弗且在此基础上，有效地运用二分法对于满足上述条件的非线性常微分方程边值问题Ｊｆ∥（ｚ）＝，（置ｙ，３，），。≤ｚ≤ｂｌｇ（。）＝ａ，可（６）＝卢进行求解。在论文的第二部分，介绍了在ＥＸＣＥＬ界面下对微分方程的求解方法。关键

2、词：边值问题，试射法，二分法，ＥＸＣＥＬ２（２）掣＞０，ｖ（ｘ，Ｙ，Ｙ’）∈ＱＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｗｏｐａｒｔｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｒｔ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈｅｓｏｌｕ－ｔｉｏｎｏｆｉｎｉｔｉａｌ—ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｏｒｄｉｎａｒｙｅｑｕａｔｉｏｆｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｌ∥”（ｚ）＝：，（ｚ，Ｙ，Ⅳ‘），ｌｇ沁）＝ｎ，ｙｌ（ｏ）＝“ｗｈｉｃｈｓａｔｉｓｆｙｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ：ｏｓｚ茎ｂ（１）ｆａ

3、ｎｄ籍．ａ。＠，ａｒｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｏｎｔｈｅｓｅｔｎ＝｛（。，Ⅳ，Ｙ’）『口≤。≤６，一。。＜Ｙ，Ｙ７＜ｏｏ｝（３）ａｃ矗ｓｔａｎｔＭｅｘｉｓｔｓ，ｗｉｔｈｔｈｅｎｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｓｔｒｉｃｔｌｙｍｏｎｏｔｏｎｅｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｉｎｔｈｅｖａｒｉａｂｌｅｍ，Ａｎｄｂａｓｉｓｔｈｉｓｔｈｅｏｒｅｍ，ｗｅｃａｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙＵＳｅｔｈｅｄｉｃｈｏｔｏｍｙｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｂｏｕＭａｒｙ－ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｏｒｄｉｎ

4、ａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎＩ９”（。）＝，（ｚ，Ⅳ，ｙ’），ⅡｓｚｓｂＩ可（Ⅱ）二。，可（ｂ）＝芦ｗｈｉｃｈｓａｔｉ８矗ｅｄｔｈｅａｂｏｖｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓＩｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｒｔ．ｗｅｐｒｏｄｕｃｅｔｈｅｍｅｔｈｏｄｈｏｗｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａＩｅｑｕａｔｉｏｎ．ｔｏｕｅｓＥＸＣＥＬｔｏｓｏｌｖｅＫｅｙｗｏｒｄｓ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ，Ｂｏｕｎｄａｒｙ—Ｖａｌｕｅ３ｐｒｏｂｌｅｍ，Ｄｉｃｈｏｔｏｍｙｍｅｔｈｏｄ，ＥＸＣＥ（２）牮＞ｏ，ｆｏｒａｌｌ（ｘｍＹ’）０＜！丛；笋≤Ｍ，，∞

5、。ｌｌ（ｘ，Ⅳ，ｇ’）∈Ｑ∈Ｑ１引言常微分方程边值问题在应用科学与工程计算中是经常遇到的，由于边值问题的存在唯一性远比初值问题复杂，因此求解边值问题无论从理论上还是数值解法上都比初值问题困难，目前采用的数值解法大多是将边值问题转换为初值问题进行求解，例如试射法（也叫打靶法）、连续法和不变嵌入法等等。我们主要针对打靶法来讨论求解二阶常微分方程边值问题的有效方法。给定二阶方程的两点边值问题：｛掣”（ｚ）＝，（。，可，可’），【可（ｎ）＝Ｏｌ，ｙ（ｂ）＝ｐ将问题（１）转化为初值问题：口≤。≤６（１）｛Ⅳ”（ｚ）＝，＠，Ｙ，Ｙ’）

6、，。曼ｚｉ可（ｏ）＝ａ，Ⅳ’（ｎ）＝ｍｓ６（２）记初值问题（２）的解为Ⅳ（ｚ）＝可（石，ｍ），它当然是与对Ｙ７（。）的初值ｍ的选择有关的。如果在另～端点ｚ＝６处，ｙ（ｂ）＝Ｆ（ｂ，ｍ）＝卢或者ｙ（ｂ，仇）一卢以残差形式表示，ＲＰ］Ｊｙ（ｂ，ｍ）一刚＜Ｅ，则可认为ｖ（ｘ）＝Ⅳ（ｚ，ｍ）是方程（１）的解。口】以看出，试射法的关键就是对初值ｍ的选择。文【１］给出了二阶常微分方程边值问题解的存在唯一性定理：引理【１】＝设方程（１）中的函数，及苗，等在区域Ｑ＝“霉，Ｙ，Ｙ’）Ｉ。≤ｚ≤６，一ｏ。＜Ｙ，Ｙ’＜ｏ。）内连续，并且（ｉ）堡

7、掣＞ｏ，ｖ（￡，ｇ，可，）∈Ｑ（越）筹在Ｑ内有界，即存在常数Ｍ，使得Ｉ驾学Ｉ姒Ｖ∽舢，）∈ｎ。ｄ＂则边值问题（１）的解存在且唯一。特别地，当．厂（。，Ｙ，ｙ／）为线性函数，即问题（１）为二阶线性常微分方程边值问题时，文『２］指出，上述引理可变为：引理’：若线性边值问题｛ｌ可ｇ（癌）＝。，ｙ（ｂ）＝卢茁（＋７可）（＝ｚ（”）ｐｚｑ）可＿｜二ｒ（石），。≤ｚ５ｂ３满足（ｉ）ｐ（ｘ），ｑ（ｚ）和ｒ（ｚ）在［ｏ，６】上连：（ｉｉ）ｑ（ｘ）＞０，对Ｖｘ∈［ａ，６］。则边值问题（３）的解存在且唯～。由于非齐次问题的解可以表示为对应齐次问

8、题的通解和它的一个特解的和［３】，文［２Ｊ指出，对于二阶线性边值问题（３）的解可以用下面非齐次线性初值问题（４）的解与齐次线性初值问题（５）的解来表示。？‘？’。ｓ。≤６（４）：‘？’＝ｐ（ｚ？可Ⅱｓｚ≤６（５）设Ⅳ・（ｚ）是非齐次线性初值问题（４）的解