二阶常微分方程边值问题的数值解法_学位论文.doc

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1、二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差

2、分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解7TheNumericalSolutionsofSecond-OrderOrdinaryDifferentialEquationswiththeBoundar

3、yValueProblemsABSTRACTThenumericalsolutionsforsolvingdifferentialequationsarevarious.Itformedanindependentresearchbranch.Thekeypointisthediscretizationofthedefinitesolutionproblemsofdifferentialequations.Thegoalofthispaperisthenumericalmethodsforsolvingsecond-orderordinarydifferentialequationswithth

4、eboundaryvalueproblems.Thispaperintroducesthemathematicsknowledgewiththetheoryoffinitedifference.Throughsolvingtheproblems,reviewingwhathavebeenlearnedsystematicallyandunderstandingtheideasandmethodsofthefinitedifferencemethodinadeeperlayer,wecanestablishafoundationforthefuturelearning.Forthesecond-

5、orderordinarydifferentialequationswiththeboundaryvalueproblems,wereviewtwokindsofnumericalmethodscommonlyusedforlinearboundaryvalueproblems,i.e.shootingmethodandfinitedifferencemethod.Therearemainlytwowaystocreatethesefinitedifferencemethods:i.e.TaylorseriesexpansionmethodandNumericalIntegration.The

6、lateroneismoreflexible,becauseatthesametimeitcangettheestimatesofthetruncationerrors.WegivetheexactcalculatingstepsandMatlabcodes.Moreover,wecomparetheadvantagesanddisadvantagesindetailofthesetwomethodsthroughaspecificnumericalexample.Inthefirstchapter,wewillintroducesomebackgroundsoftheordinarydiff

7、erentialequationsandthedifferencemethod.Inthesecondchapter,wewillobtaindifferenceschemesofthenumericalsolutionsoftheSecond-Orderordinarydifferentialequationswiththe7boundaryvalueproblemsthroughtheTayl