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《一类二阶半线性椭圆型边值问题解的存在唯一性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2003年9月四川师范大学学报(自然科学版)Sept.,2003第26卷第5期JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience)Vol.26,No.5一类二阶半线性椭圆型边值问题解的存在唯一性游雄(南京农业大学理学院,江苏南京210095)摘要:用延拓方法研究二阶半线性椭圆型方程-u+f(u)=h的0边值问题解的存在性和唯一性.首先给出方程古典解存在的一个充分必要条件和解唯一的一个充分条件,再给出解存在唯一的一个充分条件.所给的条件不同于多数文献中的形式,而是一种积分形式的整体增长控制条件
2、.关键词:半线性椭圆型方程;边值问题;解的存在唯一性;延拓方法中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:10018395(2003)05047903[4]1引言及预备知识引理2令F:DXY,设映射q(s,t):2[0,1]![0,1]RY及r(s):[0,1]D连续,二阶半线性椭圆型方程-u+f(u)=h的且F(r(s))=q(0).如果对于任何固定的s[0,Dirichlet0边值问题,有着深刻的物理背景,如有固1],F对qs(t)=q(s,t)都具有延拓性,那么存在唯定边界的薄膜在外力作用下的平衡问题,有源(或2一的连续
3、映射p(s,t):[0,1]![0,1]RD,使汇)的稳定的温度场,稳定流体的位势的描述,都用得r(s)=p(s,0)且F(p(s,t))=q(s,t),!s,t到此类方程.近几十年来,不少数学家从不同侧面[0,1].进一步,若q(s,1)=q(0,t)=q(1,t),[1]研究这个方程,如A.Hammerstein,J.L.Kazdan!s,t[0,1],那么r(0)=r(1).[2]和F.Warner,D.G.DeFigueriedo和J.P.引理3(Gronwall不等式)设函数(∀):[t0,[3]Gosez等,不但课题有所拓广,而且研究方
4、法也不++++#)R∃{0}可积,(∀):R∃{0}R是正断更新.上述论文中的存在性定理,多为充分条件,+的,不减函数,g(∀):[t0,+#)R∃{0}连续.如而且唯一性结果很稀少.另外,上述研究大都采用果在[t0,+#)上有不等式繁复的变分方法(临界点理论),我们则试图从另一t角度用延拓法,以积分形式给出关于解存在及唯一g(t)∀a+%(!)(g(!))d!,t0的一类整体性的增长控制的充分条件和必要条件.那么在[t0,+#)上就有设X,Y是两个Banach空间,DX是一个连t-1通开集.g(t)∀∀(%(!)d!),t[4]0定义1设
5、有映射F:DXY.对给定的-1其中a是一个非负常数,∀是∀的逆映射,函数q(t):[0,1]Y,如果存在一个连续函数udsp(t):[0,a)D,a(0,1],使得由对所有t∀(u)=%.a(s)[0,a),F(p(t))=q(t),可得lim-p(t)=p(a)存定义2称连续映射F:DXY满足条件ta(C):如果对任何(x0,y)D!Y,只要存在连续映在且在D中,而且F(p(a))=q(a),则称F对函射p:[0,a)D,a(0,1]使得数q(t)具有延拓性.引理1[4]设F:DXY在开集D内的每F(p(t))=(1-t)F(x0)
6、+ty,!t[0,a),一点都是局部同胚,如果F对连续函数q(t),[0,1]就有序列{tk}[0,a)使得klim#p(tk)&p(a)存在Y具有延拓性,且对某个x0D,F(x0)=q(0),且在D中.-1[5]即xF(q(0)),则存在唯一的连续函数p(t):引理4(Plastock)若F:DXY为局部[0,1]D,满足p(0)=x0,及!t[0,1],同胚,则F:DY为全局同胚的充要条件是条件F(p(t))=q(t).(C)成立.收稿日期:2003-03-10基金项目:南京农业大学理学院青年创新基金资助项目作者简介:游雄(196
7、7),男,硕士生480四川师范大学学报(自然科学版)26卷t2主要结果)h-h0)%A()p(!)))d!,0n2设#是R中的有界区域,X=C(#)∋因此1C(#),f:XX是非线性算子,hE&(-+)p(t))∀)p(0))+f)(D).考虑方程t%A()p(!))))h-h0)d!.-u+f(u)=h,(1)0221在D=B0(#)&{uC(#)∋C(#)
8、u=0,由Gronwall不等式得)p(t))x∃#}上解的存在性和唯一性问题.ds%∀定理1设fFrechet可微,而算子-+)p(0))A(s)f((u)(这里f((u)表示
9、f在u的Frechet导算子,当t%)h-h0)d!∀)h-h0).(4)然是有
