随机微分方程数值方法若干问题的研究

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1、东华大学硕士学位论文随机微分方程数值方法若干问题的研究姓名：田增锋申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：胡良剑2002.11.20摘要随机微分方程(SDE)是近代概率论中最活跃的分支之一．它的应用广泛地渗透到自然科学，工程技术以及经济学等领域中．但是显式可解的随机微分方程主要是很少的一些特殊结构的SDE，为了求解实际问题，SDE的数值方法成为很活跃的研究领域．一种数值方法是利用Ito公式转化为偏微分方程求解，但是这种方法丧失了问题中的概率特征，所以大量研究讨论的是直接的数值方法．文章共分为四章分别讨论了四个和SDE数值方法相关的课题．r由

2、于现有的数值方法的收敛性定理基本上建立在很强的条件之上，具体说来就是全局Lipschitz条件和线性增长条件．但是实际中遇到的很多有意义的模型都不满足这两个条件，因此为了扩大数值方法的应用范围，必须放松这些条件．在这一方面的一个突破性的工作是Maoj同时放松了这两个条件，将全局Lipschitz条件放松为局部Lipschitz条件，取消线性增长条件，用强畦幽她卫姆和类似于Lyapunov函数的方法给出一个更弱的条件，使得Euler逼近在依概率意义下=_致收敛到方程的解．在第一章我们以Mao文中给出的方法为基础，提出依概率一致收敛的概念，给出通

3、常使用的数值方法的依概率一致收敛的充分条件(即判别法)，结合数值例子给出这些判别法的应用．近来出现了大量的求解随机微分方程的文章，特别是对Euler法求解随机微分方程的稳定性的研究．Euler法用于求解常微分方程时其指数稳定性和均方稳定性是经典的问题，但研究Euler法求解随机微分方程时其指数稳定则是近几年的事情．一般说来指数稳定性要比i均方稳定性要强，在第二章我们通过例子说明了这一点，使用数值例子说明Euler法的渐近均方稳定和指数稳定的区别，进一步我们证明了当现有的数值方法用于线性检验方程时均方稳定和指数稳定是完全一致媳在近年来出现的大量

4、用Euler法求解随机微分方程和关于随机微分方程数值方法的稳定性的文章中，求解结果都是方程的离散解．在第三章我们将通过一个例子说明用Euler法求方程解的二阶矩时步长的减小有时不会使离散解更精确反而会使得误差增大．由此可见，为了研究连续逼近需要用插值法．之后讨论两种不同的求方程解的一阶和二阶矩的插值法，一种是在出现的文献中经常使用的确定性的线性插值法推广后的一种插值法，以此插值法得到的线性逼近解为出发点求方程的一阶和二阶矩，即先插值后求一阶和二阶矩；另一种是在以数值方法得到的离散解的基础之上先求一阶和二阶矩，然后插值，得到方程解的一阶和二阶矩

5、，即先求矩后插值．最后，我们分别研究了当方程是均方或者指数稳定的线性检验方程时这两种插值法得到方程解的一阶和二阶矩的均方稳定性和指数稳定性，证明了这两种插值得到的过程的均方稳定性和指数稳定性．并通过数值例子指出这两种插值法的不同，分析了导致这种差异的原因．在第三章的最后研究了一般的SDE两种插值法的情形，得到相应的稳定性的结论．在用数值方法求解SDE解的一些数字特征时，采用的方法是利用计算机产生大量的样本轨道，然后采用统计的方法求出方程的一些弱解．直到目前为止，文献中大量讨论的是步长对于解的精度的影响，而没有考虑模拟次数对计算精度的影响，在已

6、有的结果中给出了Euler法$11．5阶Runge—Kutta法在求解方程dx(t)=口($(t)，t)dt+dW(t)时的模拟次数的初步结果．记模拟次数为日，则(对于Euler法)H=O(h-2)，其中h是等距步长．在第四章将就此问题讨论一般形式的数值方法求解SDE时模拟次数与计算精度之间的关系，给出一个对H的估计日=O(h_27)，，y是采用的数值方法的阶，但是对于不满足条件EIxol4。<。。(七>27+3)的sDE，计算精度的保守估计只能是O(h以)，最后就方差增大的sDE我们讨论了并行计算的实现和误差的初步分析并给出几个数值例子．彦

7、7关键词：随机微分方程，数值方法，稳定性名0nsomeissuesofnumericalschemestostochasticdifferentialequationsAbstractStochasticdifferentialequation(SDE，inshort)，oneofthemostactivebranchesofmodernprobability，hasbeenwidelyappliedinsuchfieldsasnaturalscience，engineering，andeconomics，etc．However，ex-pli

8、citlysolvableSDEaremainlyofseveralspecialstructures．Becauseofitspracticalapplicati