分数阶微分方程的若干高阶数值方法研究

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1、万方数据学校编码：10384学号：19020120153827居，1六芗分类号博士学位论文密级UDC分数阶微分方程的若干高阶数值方法研究StudyofSomeHighOrderNumericalMethodsforFractionalDifferentialEquations口春婉指导教师姓名：许传炬专业名称：计算数论文提交日期：2017年论文答辩时间：2017年学位授予日期：2017年教授学月答辩委员会主席：评阅人：2017年月圳7删9Ⅲ7川3川0⋯3㈣3Ⅲ丫煳万方数据厦门大学学位论文原创性声明本

2、人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考其他个人或集体己经发表的研究成果，均在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和《厦门大学研究生学术活动规范(试行)》。另外，该学位论文为()课题(组)的研究成果，获得()课题(组)经费或实验室的资助，在()实验室完成。(请在以上括号内填写课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特别声明。)本人声明该学位论文不存在剽窃、抄袭等学术不端行为，并愿意承担因学术不端行为所带来的一切后果和法律责任。声明人(签名)：

3、与名}1铀艚刻¨戤’输刀f7年9月f／日万方数据厦门大学学位论文著作权使用声明本人同意厦门大学根据《中华人民共和国学位条例暂行实施办法》等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交学位论文(包括纸质版和电子版)，允许学位论文进入厦门大学图书馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。本学位论文属于：()1．经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文，于年月

4、日解密，解密后适用上述授权。(＼／)2．不保密，适用上述授权。(请在以上相应括号内打“√”或填上相应内容。保密学位论文应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权。)声明人(签名)：粕砌、7年卑月}}日万方数据中文摘要中又摘要分数阶微分算子的一些特性如非局部性使之成为描述各种材料和物理过程中的记忆和遗传性质的重要工具。特别是近年来，分数阶微分方程在基础科学和工程领域得到了广泛的应用。另一方面，这

5、一特性又使得理论和数值研究面临新的困难：一般情况下分数阶微分方程的解析解很难被求解出，即使某些方程的解析解可以求出，大部分的解析解也都含有难以计算的特殊函数和无穷级数。因此，越来越多的学者关注如何设计高效的数值算法来求解分数阶微分方程。本文旨在研究分数阶微分方程的数值解法，具体内容如下：第一章，介绍与本文研究密切相关的背景，陈述本文的研究动机和主要内容，最后给出本文所需的部分预备知识。第二章，构造和分析了一个求解分数阶常微分方程的亏损校正方法。这是一个迭代型算法，包含初始预估步和校正步。初始预估步用

6、来提供一个预估解，这个解由一个己被广为使用的(2一a)阶有限差分格式得到，这里口是分数阶导数的阶数。校正步用来对预估解进行校正，这里用到误差函数的多项式插值重构以及校正量的计算。本章考虑了两种网格：等距网格和非等距网格，推导了基于这两种网格的有限差分格式的误差估计。数值试验结果表明当采用等距节点网格且节点数不大时，亏损校正法的收敛阶为(7_(2--c。)(p“))，这里7一是最大时间步长，P是校正步数。节点数增大时，由于著名的Runge震荡，基于等距网格的亏损校正方法的精度降低直至出现数值不稳定性。

7、采用Gauss网格可避免Runge震荡，因此算法更为稳定，但Gauss网格的非等距性导致算法的收敛阶降为T2--c。d-p。为克服上述两个缺陷，我们最后设计和测试了一个基于分段多项式插值的亏损校正方法，数值试验显示该方法可有效改进精度并提高算法的稳定性。第三章，考虑[SunandWu，Appl．Numer．Math．，56(2)，2006]和『LinandXu，J．Comput．Phys．，225(2)，2007]中求解时间分数阶扩散方程的一个时间方向差分法／空间方向谱方法，改进了误差估计。新的误差

8、估计将原有出现在空间误差估计子前的“坏”因子At一消除，这里At是时间步长，倒是分数阶导数的阶数。我们通过一系列的数值试验验证了新的误差估计的正确性。第四章，考虑时间分数阶扩散方程的一个高阶稳定算法，该算法是通过在时间方向上采用Cao等人和Gao等人提出的对Caputo分数阶导数算子的一个高阶有限差分逼近，导出对时间分数阶扩散方程的一个时间推进格式，进而在空问方向上采用的万方数据中文摘要Legendrecollocation谱方法所构造出来的。本章的主要贡献是提出了一