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《配置方法求多阶的分数阶常微分方程的数值解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、配置方法求多阶的分数阶常微分方程的数值解第31卷第3期2010年6月华北水利水电学院JournalofNorthChinaInstituteofWaterConservancyandHydroelectricPowerVo1.31No.3Jun.2010文章编号:1002—5634(2010)03一O1DO—O3/配置方法求多阶的分数阶常微分方程的数值解张晓娟.王婧(华北水利水电学院,河南郑州450011)摘要:采用配置样条方法,以多项式样条函数的形式得出多阶的分数阶常微分方程的数值解,通过比较数值解与精确解的结果证实了此方
2、法是求解分数阶方程的一种有效数值算法.关键词:配置方法;多阶的分数阶常微分方程;Caputo分数阶导数;样条空间中国分类号:O241.81文献标志码:A多阶的分数阶常微分方程为s.(t)—D'),(t)+s:(t)DY(t)+…+s(t)Dy(t)+s川(t)Y(t)=t).,(1)式中:,(t),s(t)为定义在[0,T]上的已知函数,且对于Vt∈[0,T],s,(t)≠0;0<…<≤1;i:1,2,…,q;D为Caputo形式下的分数阶导数,且Dy(t)=—r—df,o≤n一1<d<n,F(n—)
3、o(t—r)"一'…'……',n『D=JI!±2r(+1一)t,≥n,/7,一1≤<n,0,<n,n∈N.满足初值条件Y"(0):),,,,,∈R,J=0,1,…,d.(2)分数阶导数已经被应用到物理,经济,水文等领域¨.已有文献讨论过分数阶常微分方程的精确解的存在性和唯一性.最近二十几年来,有许多学者提出了一些求分数阶常微分方程数值解的数值方法.笔者用配置样条方法求多阶的分数阶常微分方程的数值解,推导的数值方法可应用于含有整数阶的常微分方程.1构建多项式样条空间对区域[0,]进行Ⅳ等分,步长h=T/N,则t=n
4、h,=0,1,…,Ⅳ,(3)令Z』v={t0,t一,tⅣ;0=t0<tl<…<t=,=[t,t],n=0,1,…,N一1.(4)假设整数m≥1,d≥0,令s(Z)表示在节点(3)和(4)上定义的分段多项式函数组成的样条空间.s()={u(t):Ⅱ(t)I=M(t)∈7rm+d,t∈or},M.(t)=Ⅱ:"(t),_『=0,1,…,d.式中7r+为不超过m+d次方的多项式函数.2配置多项式样条方法2.1引入变量引进一系列向量,矩阵和符号.a.向量a'和b.fa'ol口I-n=0b(:…,N一16:"6●:6
5、"b.M.为(d+1)×(d+1)阶矩阵,肼2为(d+1)×m阶矩阵,J=0,1,…,d;r=0,1,…,d.收稿日期:2010一O1—05作者简介:张晓娟(1982一),女,河南平顶山人,助教,硕士,主要从事微分方程数值解方向的研究,,,●●1.,.,>≤rrI-__-,,●●●●ffl●●【=,J/【第31卷第3期张晓娟,等:配置方法求多阶的分数阶常微分方程的数值解10l)『,r≥1,0<0c≤1,1t:''={r(r+一0f)'…'…'【0,r<1,0<≤1,『0蟛』血÷一l毫c+c?{等),.
6、<<1?式中:i=1,2,…,m;=1,2,…,n一1;r=0,1,…,m+d.2.2算法推导在每个小区间:[t,￡+.]上,引进lrt个剖分点:t.1<t,2<…<t,;t=t+Cih;=1,2,…,m;n=0,1,…,N一1.其中c】,c2,…,c不依赖n和Ⅳ,并且满足:0<Cl<C2<…<C≤1.Ⅳ一l令(N)=uX,X={t…=t+clh,i=1,2,…,m}cor.方程(1)和(2)在区域[0,T]上的精确解将由u∈s(z)近似.在每一个区间上,有u(t)∈Js
7、d(zⅣ),当t=t+∈,∈[0,1]时,设dm"(f)="(t")=∑nr+∑",(5)由u:D(t+1):"uCD+l(t+I),=0,1,…,d,V"=Ua+….(7)式中:V'是m×m阶矩阵;U''为m×(d+I)阶矩阵;F'为n维向量,n=0,1,…,N一1;1≤≤m.(㈣一(O,al+(0,a2)+.--+导,一m,(㈣=一'…～导(=c=扫(薹n—lin∑∑(n-j,6一J=0r=1口+l—a2.(m(n-j,0I)…一ni1?,=rl.(∑∑w(n-+i.,6.行列式在h=0时,行列式是范德蒙行列式.故当h
8、充分小时,矩阵y是可逆阵.定理用样条函数U∈s(z)来近似方程(1)和(2)的精确解时,式(5)中的a,6'由式(6)和式(7)两个递推公式得到:在[0,t.)中,a由初值条件给定,b'.通过b'∽=['.](U'.a'.+F)求得.在[t,t+,)(n≥1)内,a由式(6)求得,b由式(
