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1、二阶常微分方程的数值求解一.教学要求掌握利用降阶把二阶常微分方程转化为一阶微分方程组，再利用Euler方法数值求解,并能利用MATLAB软件进行数值计算和符号运算。二.教学过程考虑如下的二阶微分方程初值问题利用Euler方法求解上述方程组可得如下数值格式利用四阶R-K方法求解上述方程组可得如下数值格式例1：用Euler法求解如下初值问题当h=0.1，即n=20时，Matlab源程序见Euler_sys1.m解：clc;clear;h=0.1;a=0;b=2;x=a:h:b;y(1)=1;z(1)=-1;fori=1:length(x)-1y(i+1)=y(i)+h*z(i);z(i
2、+1)=z(i)+h*y(i);endplot(x,y,'r+',x,exp(-x),'k-');xlabel('Variablex');ylabel('Variabley');Euler_sys1.m数值解与真解如下图例2：利用4阶R-K方法求解例1，并与Euler方法进行比较。解当h=0.1，即n=20时，R-K方法的Matlab源程序见RK_sys1.m，数值结果见下图functionw=rightf_sys1(x,y,z)w=y;clc;clear;h=0.1;a=0;b=2;x=a:h:b;Euler_y(1)=1;Euler_z(1)=-1;%初值RK_y(1)=1;R
3、K_z(1)=-1;%初值fori=1:length(x)-1%****EulerMethod****%Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i);Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*Euler_y(i);%*****R-K4Method*****%K1=RK_z(i);L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i));%K1andL1K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;rightf_sys1.mRK_sys1.mL2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(
4、i)+0.5*h*L1);%K2andL2K3=RK_z(i)+0.5*h*L2;L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);%K3andL3K4=RK_z(i)+h*L3;L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3);%K4andL4RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4);endplot(x,Euler_y,'r+',x,ex
5、p(-x),'k-',x,RK_y,'b*');xlabel('Variablex');ylabel('Variabley');例3：分别用Euler法和R-K4求解如下初值问题解：当h=0.1，即n=20时，Matlab源程序见RK_sys2.m,数值结果如下图functionw=rightf_sys2(x,y,z)w=-y+2*exp(-x)*(x-1);clc;clear;h=0.1;a=0;b=2;x=a:h:b;Euler_y(1)=1;Euler_z(1)=1;RK_y(1)=1;RK_z(1)=1;fori=1:length(x)-1%****EulerMethod*
6、***%Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i);Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*rightf_sys2(x(i),Euler_y(i),Euler_z(i));%*****R-K4Method*****%K1=RK_z(i);L1=rightf_sys2(x(i),RK_y(i),RK_z(i));%K1andL1rightf_sys1.mRK_sys2.mK2=RK_z(i)+0.5*h*L1;L2=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1);%K2and
7、L2K3=RK_z(i)+0.5*h*L2;L3=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);%K3andL3K4=RK_z(i)+h*L3;L4=rightf_sys2(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3);%K4andL4RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*
