06 常微分方程的数值求解new

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1、第六章常微分方程数值解§6.0引言§6.1欧拉方法§6.2龙格-库塔方法§6.3单步法的收敛性和稳定性§6.4线性多步法11§6.0引言1主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解：⎧dy=f()xy,⎪⎪dx⎨⎪y()xy=00⎪⎩微分方程的解就是求一个函数y=x()，使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。222例如微分方程：xy-y=x′24初始条件：(1)=-3y于是可得一阶常微分方程的初始问题⎧2y⎪y′=+4⎨x⎪⎩y(1)=−32显然函数y()x=x-x4满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。333但是，只有一些特殊类型的微分方程问题能

2、够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。444微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x=a，将[a,b]进行划分得一系列节点x,x,...,001x，其中a=x

3、数值值值方方方法法法的的的基基基本本本思思思想想想与与与实实实现现现途途途径径径1.数数数值值值方方方法法法的的的思思思想想想(1)第第第一一一步步步,把把把区区区间间间[a;b]进进进行行行划划划分分分,通通通常常常进进进行行行m等等等分分分,设设设节节节点点点a=x0

4、函函数数数.(3)第第第三三三步步步,根根根据据据需需需要要要可可可由由由以以以前前前的的的插插插值值值方方方法法法求求求得得得插插插值值值点点点为为为x的的的函函函数数数y(x)的的的近近近似似似值值值,或或或由由由列列列表表表函函函数数数求求求得得得y=y(x)的的的近近近似似似函函函数数数.说说说明明明:由由由此此此可可可知知知初初初值值值问问问题题题数数数值值值解解解法法法的的的关关关键键键在在在于于于如如如何何何由由由y(x0)的的的值值值得得得到到到y(x1)的的的值值值y1,更更更一一一般般般地地地如如如何何何由由由y(xi)的的的近近近似似似

5、值值值yi得得得到到到y(xi+1)的的的近近近似似似值值值yi+1.362.从从从yi得得得到到到yi+1的的的几几几种种种途途途径径径1)化化化导导导数数数为为为差差差商商商的的的方方方法法法由由由000yi+1¡yiy(xi)=f(xi;y(xi))及及及y(xi)¼可可可得得得h8>:y(x0)=y0即即即yi+1=yi+hf(xi;yi);i=0;1;2;¢¢¢;m¡1:472)Taylor展展展开开开法法法由由由hp0(x(p)y(xi+1)¼y(xi)+hyi)+¢¢¢+y(

6、xi)p!将将将80>>y(xi)=f(xi;y(xi))>i)=fx(xi;y(xi))+fy(xi;y(xi))y(xi):¢¢¢代代代入入入上上上式式式,并并并用用用yi+1;yi分分分别别别作作作为为为y(xi+1);y(xi)的的的近近近似似似,可可可得得得y200i+1=yi+hf(xi;yi)+h(fx(xi;yi)+fy(xi;yi)f(xi;yi))=2+¢¢¢583)数数数值值值积积积分分分法法法把把把微微微分分分方方方程程程y0=f(x;y)在在在区区区间间间[xi;xi+1]上上上求求求积积积分分分便便便得得得Zx

7、i+1y(xi+1)¡y(xi)=f(x;y(x))dxxi于于于是是是有有有8Z>:y(x0)=y04)基基基于于于微微微分分分中中中值值值定定定理理理由由由690(»)h=f(»;y(»))h;»2(xy(xi+1)¡y(xi)=yi;xi+1)只只只要要要给给给出出出f(»;y(»))的的的适适适当当当近近近似似似就就就可可可得得得相相相应应应的的的方方方法法法.三三三几几几个个个基基基本本本概概概念念念1.单单单步步步法法法:为为为了了了求求求得得得微微微分分分方方方程程程在在在点点点xi+1上上

8、上的的的数数数值值值解解解yi+1,只只只要要要知知