数值分析-5常微分方程数值解法new

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1、第5章常微分方程数值解法本章内容515.1引言1.1光波的特性5.2Euler方法5.3Runge-Kutta1.2光波在介质界面上的反射和折射方法5.4单步法的收敛性和稳定性5.51.3线性多步法光波在金属表面上的反射和折射2本章要求•主要内容：尤拉方法、改进的尤拉方法、龙格—库塔方法、亚当姆斯方法。•基本要求–(1)掌握尤拉法。–(2)会用龙格─库塔法。了解截断误差，稳定性，收敛性的含义。•重点、难点–重点：尤拉方法的思想；–难点：龙格─库塔法。3515.1引言$待求解的问题：常微分方程的定解问题着重考察：一阶方程的初值问题⎧y′=fbf()(xy,)[xa∈[],b](5

2、.1.1)⎨⎩yx()=y00(5.1.2)解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f(x,y)在[a,b]×R1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使

3、(,)(,)

4、

5、fxy−fxy≤−Lyy

6、1212对任意定义在[a,b]上的y(x)和y(x)都成立，则上述初值12问题存在唯一解。4515.1引言如何求解解析解法：（常微分方程理论）只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。数值解法：求解所有的常微分方程计算解函数y(x)在一系列节点a=x

7、,...,n)ii节点间距hi=xi+1−xi(i=0,...,n−1)为步长，通常采用等距节点，即取h=h(常数)。i步进式：根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值，一步一步向前推进。因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。这种计算公式称为差分格式。5515.1引言初值问题6752Euler5.2Euler方法5.2.1Euler格式⎧yfxyaxb′=≤(,)≤(5.1.1)⎨yx()=y(5.1.2)⎩00对微分方程(511)(5.1.1)两端从xx到进行积分nn+1xxnn++11ydx′=fxyxdx(,())∫∫

8、xx右端积分用nn左矩形数值xn+1yx()()−=yxfxyxdx(,())求积公式nn+1∫xn令gx()=fxyx(,())bg′()ξ2∫gxdx()()=−baga()+()ba−a2得yy−=((((xx−)fx,y())(x))nnnnnn++11=hfxyx(,())(5.2.1)8nn52Euler5.2Euler方法yy−′=nn+1yxfxy()=(,)nnnxx−nn+1yyh=+=f(,xyn)0,1,...(5.2.1)nn+1nn式(5.2.1)称为Euler格式。每步计算y只用到y，故也称为ElEuler单步法。n+1n公式右端只含有已知项y，所

9、以又称为显格式的单步法。n952Euler5.2Euler方法几何意义称为欧拉折线法1052Euler5.2Euler方法欧拉折线法pyn+1yyx=()pnp(x)n+1xxxnn+1从上述几何意义上得知，由Euler法所得的折线明显偏离了积分曲线，可见此方法非常粗糙。1152Euler5.2Euler方法显然，这种近似有一定误差，而且步长越大，误差越大，如何估计这种误差y(x)−y？n+1n+1定义在假设yn=y(xn)，即第n步计算是精确的前提下，考虑公式或方法本身带来的误差:R=y(x)−y,称为局部nn+1n+1截断误差。说明1252Euler5.2Euler方法截断

10、误差:实际上，y(x)≈y，y也有误差，它对y的误差也有nnnn+1影响，见下图。但这里不考虑此误差的影响，仅考虑方法或公式本身带来的误差，因此称为方法误差或截断误差。局部截断误差的分析：由于假设y=y(x)，即y准确，因此分析nnn局部截断误差时将y(x)和y都用点x上的信息来表示，工具：n+1n+1nTaylor展开。F欧拉法的局部截断误差：h23Ry=()xyy−=[()()xh+++y′xy′′()()xOh]nnnnn+111++2n[−+yhf(,)]xynnnR的主项2n+1h3=2yxOh′′()n+()(5.2.3)1352Euler5.2Euler方法定义若

11、某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。2FRy≈h′′()xEuler法具有1阶精度（）nn+12。在第二章讨论牛顿插值公式时介绍了差商的概念和性质，各阶差商可以近似各阶导数，具有不同的精度，且可以用函数值来表示。上一章中数值微分的方法之一就是用差商近似导数.yx−yx在xn点用一阶向前差商近y′()x≈()()nn+1n似一阶导数hyx()()()≈+yxhyx′nnn+1EEl’uler’smeththdod↑y()x≈ynn14y()x≈=+yyhf(,)xynn