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《数值分析报告常微分方程的数值解法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、常微分方程的数值解法一、实验目的：目的与要求：通过实验，熟悉常微分方程的数值解法的基本原理。掌握向前欧拉法、向后欧拉法、梯形法、改进欧拉法及三阶、四阶龙格-库塔法等基本算法。二、实验内容：在下列方法中：向前欧拉法、向后欧拉法、梯形法、改进欧拉法及三阶、四阶龙格-库塔法选择不同的三种算法求下面方程的数值解，并与准确解比较。以上步长取0.1.三、实验要求：1．编程实现。2.可以自拟实验题，要求同上。四、实验程序及结果：1．求原函数DSolve[{y'[x]==x^2+x-y[x],y[0]==0},y[x],x]求得：2．向前
2、欧拉法x[0]=0;y[0]=0;h=0.1;f[x_]:=;x[n_]:=n*h;f[u_,v_]:=u2+u-v;K1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]];y[n_]:=y[n-1]+h*K1[n];Table[{n,x[n],y[n],f[x[n]],f[x[n]]-y[n]},{n,0,10}]//N;Print["n,x[n],y[n],f[x[n]],f[x[n]]-y[n]","",MatrixForm[Table[{n,x[n],y[n],f[x[n]],f[x[n]]-y[n]},{n,0
3、,10}]//N]]Data1=Table[{x[n],f[x[n]]},{n,0,10}]//N;Data2=Table[{x[n],y[n]},{n,0,10}]//N;A0=Plot[f[x],{x,0,1},PlotStyle®{Red,Thick}];A1=Graphics[{PointSize[0.02],Red,Point[Data1]}];A2=ListLinePlot[Data2,PlotStyle®{Red,Dashed}];A3=Graphics[{PointSize[0.02],Blue,Point
4、[Data2]}];Show[A0,A1,A2,A3,PlotRange®All]1．改进欧拉法f[x_,y_]:=x2+x-y;f[x_]:=;xy:={{0,1}};h=0.1;Do[xn=xy[[n]][[1]];yn=xy[[n]][[2]];k1=f[xn,yn];k2=f[xn+h,yn+h*k1];d=(k1+k2)*h/2;Print[n,"","x",n,"=",xn+h,"","y",n,"=",yn+d,"","f(x",n,")=",f[xn+h],"","f(x",n,")-y(x",n,")="
5、,f[xn+h]-(yn+d)];xy=Append[xy,{xn+h,yn+d}],{n,1,10}];A1=Graphics[{PointSize[0.02],Red,Point[xy]}];A2=ListLinePlot[xy,PlotStyle®Dashed];A3=Plot[f[x],{x,0,1},PlotStyle®{Red,Thick}];Show[A3,A2,A1]1．四阶龙格-库塔法f[x_,y_]:=x2+x-y;f[x_]:=;;y0=1;a=0;b=1;n=10;h=(b-a)/n;xx=Tabl
6、e[a+(i-1)h,{i,1,n+1}]//N;y=Table[0,{i,1,n+1}];y[[1]]=y0//N;For[i=2,ibn+1,i++,a1=hf[xx[[i-1]],y[[i-1]]];a2=hf[xx[[i-1]]+h/2,y[[i-1]]+a1/2];a3=hf[xx[[i-1]]+h/2,y[[i-1]]+a2/2];a4=hf[xx[[i-1]]+h,y[[i-1]]+a3];y[[i]]=y[[i-1]]+1/6(a1+2a2+2a3+a4);Print[i-1,"","x",i-1,"=",
7、xx[[i]],"","y",i-1,"=",y[[i]],"","f(x",i-1,")=",f[xx[[i]]],"","f(x",n,")-y(x",n,")=",f[xx[[i]]]-y[[i]]];]data=Table[{xx[[i]],y[[i]]},{i,1,n+1}];A1=Graphics[{PointSize[0.02],Blue,Point[data]}];A2=ListLinePlot[data];A3=Plot[f[x],{x,0,1},PlotStyle®{Red,Thick}];Show[A
8、3,A2,A1]五、实验总结：本次实验是为了熟悉常微分方程的数值解法的基本原理。掌握向前欧拉法、向后欧拉法、梯形法、改进欧拉法及三阶、四阶龙格-库塔法等基本算法。对同一个方程求数值解，我采用了向前欧拉法、改进欧拉法和四阶龙格-库塔法,了解了不同算法的编程难度和运算效率。本次实验中又犯了粗心的错误，少打了
