matlab应用第8章常微分方程的数值求解

《matlab应用第8章常微分方程的数值求解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、笛8查常微分方程的教信求紹所谓的常微分方程就是把自变量t和它的函数y以及它的微商dy/dt、d2y/dt2、...dny/dtn相联系的一个关系式dyd^y_£2dtdtdtn一个微分方程不只有一个或儿个解，而是有无数个一簇解。如一阶常微分方程dy/dt=l-e4的解为y(t)=t+e4+C。C为积分常数，C取任意数值时，函数y⑴都满足微分方程。因此，解有无数个。如图在实际应用中，并不要求把所有的解都求出来，而是求满足某种指定条件的解。这个条件通常称定解条件。一个最重要的定解条件是初值条件。对于上

2、述方程，初值条件是：爪):凡，华”。，学二々，…，⑥⑵atatatxo是自变量的某个指定的“初值”，而％、>，„、％2)、...、yf"则是未知函数及其到n—1阶微商的指定“初值”。求解满足这样初值条件的微分方程问题称为初值问题。如果能从方程⑴将6/、/，解出，则微分方程变成下面的形式£2dtndycPy_dn~lyyH”：dt(3)这里的f与式(1)中的f不同，它是n+1个自变量的己知函数。这种微分方程称为正规形微分方程。而式(1)有时称为隐微分方程。我们只考虑正规形微分方程，而且是一阶常微分方

3、程的初值问题：字=力0)=)，0，⑷at设函数/(纟，)，)在区域~

4、，由常微分方程理论得知，初值问题(4)在区间［t()，T］有唯一解，且连续可微。微分方程的数值解法是一种离散化方法。在这种方法中，事先取定自变量t的离散值ti,t2,tN,tj称为节点，通常取成等距的，即t

5、=t0+h,t2=to+2h,tN=t0+Nh,其中h〉0称为步长，必要吋，可以改变它的大小。在这些节点

6、上求出未知函数y⑴对应的值y⑹、y(t2)、...y(tN)的近似值y!、y2、...yN。这些值称为初值问题的一个数值解。常微分方程的数值求解方法很多，常用的有欧拉(Euler)方法、休恩(Heun)方法、泰革力(Taylor)级数注、尤格一库塔(Runge-Kutta)法、预测一校正(Predictor-Corrector)法。欧拉(Euler)方法根据泰勒(Taylor)定理，如果函数y(t)、y’(t)、y”(t)是连续的，附近可以展开为：yW=A)+/(zoX，-，。)+C

7、e［，()，

8、，］令h=t'-t。，并将y’(~)=,(f0，y(^)))代入上式，得至(J池)=，)么))+Y’(A若步长取得足够小，可以忽略包含h2的二次项=)^0)+Wo^(^o))欧拉逼近将区间［a，b］分成M个等距的子区间，子区间的长度即为步长h=(b-a)/M，tk=a+kh，k=l，2,...”M或tk+i=tk+h。重复上述欧拉逼近过程：y2二y,+/z/'(rI,yl)；y3=y2+/i/'(/2,y2);这些点就是对曲线y=y⑴的逼近。在儿何上，/(/，^^办/叫表示曲线^^⑴的斜率。对于方

9、程解的所有曲线，/^，y)构成一个斜率场。2345一个解曲线应该受斜率约束的。沿着一条曲线运动，要从初始点（to,yo）开始，考察在斜率场中该点的方向，沿着该方向移动一段距离，相当于在t方向移动h距离，在y方向移动蛘（~，八），这吋移动到下一点（tbyD。在（byD点，重复上述步骤，得到（t2，y2），.…，最后得到（tN，yN）。=Ot、‘hh当然，除了（to，yo）外，其它点并不在精确的解曲线上，因此（ti，yi）,（tN，yN）是精确解曲线的近似值。如果步长取得越短，近似值就逼近精确值。欧拉

10、方法的末端累积误差为=（）（//）2以下是在［0,3］内，方程为/=（Z-y）/2、初值条件为><0）=1的不同步长欧拉解的比较。Figure9*6ComparisonofEulersolutionswithdifferentstepsizesfor=(f—y)/2over[0,3Jwiththeinitialconditiony(Q)=1.从图屮可以看出，步长取得越小，越逼近精确解。休恩(Heun)方法对微分方程办/冰=/(^>，)从10到11积分，利用初始条件y(^0)=>o»得到f1/(，，

11、=£y*(t)dt=y(z,)-y(r())y(z,)=y(z())+£'/(z,y{t))dt上式中的积分可以利用数值积分的梯形公式(S,⑽)表达。现在取/2=^-~,应用梯形公式，得到池卜＞仏)+1⑽。，也))+冰，)))(Heun-1)注意，这吋公式的右端也包含待定值y(tD。可以用一个估计值来代替右边的yh)。这里采用欧拉方法得到这个估计值，)＜/,)-+然后代入(Heun-1)式中，得到(tby丨)。%=也)+1(/(~，＞，(，。))+/(，i，)，。+W。，)，。))