求解二阶常微分方程的并行块方法

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1、上海师范大学硕士学位论文第一章引言第一章引言弟一早亏I石1．1数值方法及收敛性理论考虑二阶常微分方程初值问题可Ⅳ(z)=，(z，秒)，z>Xo，(1．1．1)v(：ro)=Vo，v'(zo)=％，其中，是连续的实值函数。二阶常微分方程在天体力学、理论物理与化学以及电子学等诸多领域具有十分广泛的应用。近几十年来，关于求解二阶周期性常微分方程初值问题引起了许多研究者的极大兴趣，已经构造了许多求解二阶常微分方程的数值方法。一般来说，二阶常微分方程初值问题的数值方法可以分为两类：一类是通过引进新的变量将其转化为一阶常微

2、分方程组再进行求解，但是方程维数是原来的2倍；另一类是构造直接计算的数值格式，保持方程维数不变。求解二阶常微分方程初值问题(1．1．1)的线性多步法可以表示为后七∑哟‰句=h2∑岛，(zn吖，蜘钾)，n=0，1，2，⋯，(1．1．2)j=o这里h>0是常数步长，It．n=Xo+nh，n=1，2，⋯，‰是精确解Ⅳ(。)在z=％处的近似解。定义线性多步法(1．1．2)的第一和第二特征多项式为假定方法(1．1．2)满足下列条件：(1)哟，岛∈R，并且Q知≠0，I,10l+l岛J≠o，∑冬ol岛l≠o；(2)p(()和

3、矿(()是不可约的；(3)相容条件：p(1)=∥(1)=0，∥(1)=2盯(1)；(4)稳定性条件：设白是p(()的根，则l白I≤1，且若f白I=1，则其重数不超过2．房七∑细=O州．r％膏∑间=O“第一章引言上海师范大学硕士学位论文Henrici【22]i正明了满足上述四个条件的线性多步法(1．1．2)是收敛的。典型的单步方法是如下形式的s-级Runge-Kutta-NystrSm方法：K=Yn+九c‘如+h2∑；：1aof(xn+c／h，K)，i=1，2，⋯，s，必+1=必+九∑：lb,f(xn+c／h，K

4、)，Yn+1=‰+嗽+h2∑：l瓦，(％+c‘^，K)．这里％，6i，瓦为方法的参数。Hail贸和W锄盯【20】利用一种特殊的根树理论建立了Runge-Kutta-NystrSm方法的阶条件。就我们所知，求解二阶常微分方程的块方法的研究工作并不多。Chakravarti和Wodand【5】首先提出了一类自启动的块方法，并得到k维块方法具有k+1阶精度。T。，有关二阶常微分方程计算方法的其它研究结果可以参见综述性论文【42】。考虑试验问题其通解为1．2数值方法的p稳定性矿(z)=一A2y(z)，入∈R，(1．2．

5、1)y(x)=die‘蛔+dae一‘蛔，IdlI+Id2I≠0．(1．2．2)由于方程(1．2．1)的解具有周期性，因而希望数值解与解析解有相似的周期性。Lambert和Watson[25]首先引入了线性多步法P-稳定性的概念。将线性多步法(1-1．2)应用于试验方程(1．2．1)，得到如下形式的差分方程Qo(z2)‰+七十Q1z2)‰+奄一l+⋯+Q七(z2)‰=0，这里z=iAh，Gr=0，1，⋯，忌)是多项式，其特征多项式定义为Q(z，R)=Qo(z2)R七+Q1z2)冗七一1+⋯+Qk(z2)．(1．2

6、．3)假设特征多项式(1．2．3)满足如下的条件：(a)Qo(w)Rk+Ol(w)R七一1+⋯+Q七∞)是不可约的；2上海师范大学硕士学位论文第一章引言(b)k>1，Qo(O)≠O；(c)Q(O，1)=0，舞(o，1)=0，祭(o，1)≠0．Haimr【19】提出了如下的定义。定义1．2．1如果对所有的H∈(0，Ho)，H=Ah，线性多步法rJ．J．2)的特征多项式fJ．2．圳的根满足条件，7l=∥(日)，，72=芒一‘‘P(日】，I仍IS1，j『=3，4，⋯，知，其中妒(日)∈R，则称该方法具有周期区间(o，

7、凰)；如果线性多步法f7．J．2J具有周期区间(o，oo)，则称该方法是P一稳定的·这里771和啦表示这个特征多项式的主根。定理1．2．1【19】P．稳定的线性多步法的最大收敛阶是2．㈦圳硝㈦删硝t_H栅2石TN飞-I篙篡)'H2=A2h2,N=I+H2A，e=(1，1，⋯，1)T，b=(bl,52，⋯，以)，c=(CI)c2，⋯，％)．M(日2)的特征多项式为f2一S(H2){4-P(H2)，这里S(日2)=trace(M)，P(日2)=det(M)．(1．2．4)定义1．2．2【17】如果对任意的H2∈(0

8、，no)，Runge．Kutta．NystrSm方法特征多项式fJ『．2．卅的根∈l，2(丑2)是共轭复根且lfl，2(H2)l=1，则称该方法具有周期区问(o，Ho)．如果Runge—Kutta-NystrSm方法具有周期区间(o，oo)，则称该方法是P一稳定的。Franco。G6mez和Randez[17]构造了四步四阶的P一稳定Runge．Kutta．Nystrbm方3第一章引言