常微分方程数值解

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1、微分方程数值解陈文斌www.scicomput.comMultigrid@scicomput.comEuler方法考虑常微分方程：Euler方法的三种解释数值微分：用差商来代替导数数值积分：把微分方程变成积分方程幂级数展开：将u(t+h)在t做Taylor展开单步方法和多步方法单步方法：利用h,tm和um即可算出um+1多步方法：要用到h,tm,tm+1,…,tm+k-1和um,um+1,…,um+k-1才能求出um+k显式和隐式方法显式格式：um+1通过递推可以直接求得隐式格式：um+1需要求解代数方程才能求

2、得，例如改进的Euler方法局部截断误差和整体截断误差局部截断误差Rm：假设第m步精确计算的前提下，计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差整体截断误差:在考虑误差累积的效应下，计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差相容性和相容的阶q阶相容:若一个离散变量方法的局部截断误差对任意m满足：收敛性与收敛的阶收敛：对任意的，成立若此时，整体截断误差满足则称方法的收敛阶为p,简称为p阶的稳定性方法稳定性指对初始误差的连续依赖性,以线性k步方法为例，即为存在常数C和h0>0,使得当时这里常数C不依赖于h。通常这里定

3、义的稳定性指情况下的稳定性。绝对稳定性绝对稳定性指对某类模型问题，对固定的,当时计算是稳定的。复平面上所有这样的组成的区域称为这个方法绝对稳定区域高阶单步方法---Taylor级数法高阶单步方法Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法例中点法（修正的Euler法）：二阶方法古典四阶Runge-Kutta方法Adams方法考虑微分方程的积分形式用f的k次Lagrange插值多项式来代替fAdams-bashforth外插方法在积分方程中取可得计算格式Adams-Moulton内插方法类似取，可以得到注

4、：这里的t在插值点的内部，所以叫内插方法Gear方法类似Adams方法，如果用多项式来逼近u，则可以得到Gear方法线性k步方法结合上面的Adams方法和Gear方法，我们可以有更一般的方法如果需要q阶相容，用Taylor方法容易知道在线性多步方法中最高阶的两步方法—四阶两步方法(Milne)线性多步方法线性多步方法的性态分析收敛性：相容性：计算格式的误差稳定性：计算解对初始扰动的连续依赖性绝对稳定性：对线性问题稳定的最大步长线性多步方法相容的充要条件定义第一特征多项式为定义第二特征多项式为相容的充要条件例：相

5、容不收敛例：相容不收敛（续）例：相容不收敛（续）线性多步方法的稳定性定理：线性多步方法稳定充要条件是满足根条件，即的所有根均在复平面的单位园内，且在单位园周上的根为单根。相容+稳定=收敛收敛的线性多步方法必定相容并且稳定相容且稳定，初始值的线性多步方法必定收敛。若方法是q阶相容，且,则方法是q阶收敛绝对稳定性考虑试验方程记，用线性多步法有其稳定的条件是特征多项式的满足根条件绝对稳定性对指定的，如果特征多项式的根按模都小于1，则称线性多步方法关于此绝对稳定，所有这样的组成的集合称为该方法的绝对稳定区域利用边界轨迹

6、法可以求得绝对稳定区域。