常微分方程数值解a

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1、第六章常微分方程数值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]R1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0

2、ethod*/欧拉公式：x0x1向前差商近似导数记为定义在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有1阶精度。欧拉公式的改进：隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数y

3、i+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有1阶精度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…梯形公式/*trapezoidformula*/—显、隐式两种算法的平均注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有

4、了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。改进欧拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式

5、欧拉法。§3龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/建立高精度的单步递推格式。单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。考察改进的欧拉法，可以将其改写为：斜率一定取K1K2的平均值吗？步长一定是一个h吗？首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开将改进欧拉法推广为：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii

6、++==++=+llStep2:将K2代入第1式，得到Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较要求，则必须有：这里有个未知数，个方程。32存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。注意到，就是改进的欧拉法。Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？其中i(i=1,…,m)，i(i=2,…,m)和ij(i=2,…,m;j=1,…,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=++

7、+=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：注：龙格-库塔法的主要运算在于计算Ki的值，即计算f的值。Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：753可达到的最高精度642每步须算Ki的个数由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。§

8、4收敛性与稳定性/*ConvergencyandStability*/收敛性/*Convergency*/定义若某算法对于任意固定的x