时间分数阶薛定谔方程的数值方法-论文.pdf

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1、第15卷第3期北华大学学报(自然科学版)Vo1．15No．32014年6月JOURNALOFBEIHUAUNIVERSITY(NaturalScience)Jun．2014文章编号：1009—4822(2014)03—0296—03DOI：10．11713／j．issn．1009—4822．2014．03．004时间分数阶薛定谔方程的数值方法张艳敏，张丽春(1．青岛理工大学琴岛学院，山东青岛266106；2．北华大学数学与统计学院，吉林吉林132033)摘要：结合非标准有限差分格式给出了求解分数阶薛定谔方程的一种数值解法，对时间导数离散后的分母构造了一个关于时间步长的函数来近似，证明了该

2、差分格式是无条件收敛和稳定的．数值算例表明该方法不仅有非常好的收敛性和稳定性，还有较高的精度，因此该方法是有效的．关键词：分数阶薛定谔方程；非标准有限差分格式；无条件收敛；无条件稳定中图分类号：0241．82文献标志码：AANumericalMethodforSolvingTimeFractionalSchr6dingerEquationZHANGYan-min．ZHANGLi—chun(．QindaoCollegeofQingdaoTechnologicalUniversity，Qingdao266106，China；2．MathematicsandStatisticsSchoolof

3、BeihuaUniversity，Jilin132033，China)Abstract：Combinedthenonstandardfinitedifferenceschemes，anumericalmethodforsolvingthetimefractiona1Schr~dingerequationhasbeenpresented，denominatorfunctionforthespacediscretederivativesisaspacestepfunction．andthedifferenceschemeisunconditionalstabilityandconvergen

4、ce．Numericalexampleshowsthatthenumericalmethodhasnotonlygoodconvergenceandstability，butalsohigherprecision．Sothenumericalmethodisapracticalmethod．Keywords：fractionalSchrsdingerequation；nonstandardfinitedifferenceschemes；unconditionalconvergence；unconditionalstability1引言时间分数阶薛定谔方程是物理领域量子力学中的一个重要方程

5、，它是描述物质波和波动的二阶偏微分方程，也可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质．因此研究此类方程具有重要的意义．但目前对此类方程研究的相关文献还较少H]．本文结合非标准有限差分格式的特点给出求解时间分数阶薛定谔方程的一种数值解法，构造的差分格式是无条件稳定和收敛的，数值算例验证了该方法是有效的．本文考虑如下初边值薛定谔方程：d，．，、—1，_=iAu(，t)+，t)，0<

6、1981一)，女，讲师，硕士研究生，主要从事偏微分方程数值解研究第3期张艳敏，等：时间分数阶薛定谔方程的数值方法297____l-_-__---_-______________________-_______。_●●___-_。。。。。。。。。_。。。。。。。-___-。。。。。-。。。。。。。。。—。—。。。。。———————’————————————————————————————————————————————一一一(，0)=()，0≤≤L，u(o，t)=o(t)，(L，t)=1(t)，0

7、(t)为已知连续函数，，为非负常数．时间分数阶导数为Caputo分数阶导数：：些(2：r鱼羔)_。上d．2差分格式构造首先对区域[0，]×[0，]以为空间步长，．r为时间步长进行分割，网格节点记为(Xm,tn)，其中=mh，m=0，1，⋯，M，t=nr，凡=0，1，⋯，N，这里M，Ⅳ为正整数．定义数值解M一u(x，)．在节点(，t川)处，方程(1)离散后的差分格式为志毫兰㈤盟，其中函数满足：Dl(．r)=，r+0(丁)，D2(^)=