基于分数阶时间序列的混合模型.pdf

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1、摘要经济金融领域中的数据,其特征之一就是长记忆性,即相距较远的时间间隔,序列仍显著地自相关,历史事件会长期影响着未来.为了刻画这一性质,我们会选择具有长记忆性的模型.但随着模型的发展,仅用一个具有长记忆性的模型去刻画经济过程逐渐表现出了单一性与不合理.虽然一个经济过程在很长的时间段内总体表现为长记忆性,但是对其中的很多小段时间来讲,该过程会表现为短记忆性.此时用一个长记忆模型刻画就会不准确.基于这种原因,我们提出一个在长时间角度看具有长记忆性,但仍可表现出短记忆性的混合记忆模型.具有长记忆性质的时间序列过程,

2、是指它的自相关函数是以双曲速率衰减的,如果时间序列过程的自相关函数是以指数速率衰减的,那么这些时间序列过程是属于具有短记忆模型的类别.本文中,我们对于具有短记忆和长记忆的模型均采用最简单的模型,即最简单的短记忆模型――自回归模型(AR模型),和最简单的长记忆性的模型――分数可积的自回归滑动平均模型(ARFIMA模型).将它们的条件分布赋予权重求和,得到混合模型的条件分布.对新的混合模型的平稳性进行讨论,并且对其参数作出估计.基于分数阶时间序列的混合模型定义如下：∑︁2k;tF(yt

3、Ft−1)=kG();

4、kk=11;t=yt−10−11yt−1;d2;t=(B)(1−B)yt;其中，F(yt

5、Ft−1)为在给定历史信息的条件下，条件累积分布函数在Yt=yt时的取值，Ft为到时间t的历史信息生成的域，即Ft=(yt;yt−1;···),G(·)为标准正态分布的累积分布函数，1+2=1,且1;2>0,多项式(B)=1−21B,

6、21

7、<1,B为延迟算子，即By=y,sN(0;2),t=1;2;3;···;k=1;2;且相互独立，−0:5

8、的平稳性,本文证明出了两个重要的定理：i定理1基于分数阶时间序列的混合模型生成的时间序列{yt}一阶矩平稳的条件为

9、111+221

10、<1.定理2假设基于分数阶时间序列的混合模型生成的时间序列{yt}是一阶矩平稳的,那⃒⃒么该序列二阶矩平稳的条件为⃒⃒12+22⃒⃒<1:1121此外在定理证明的过程中,得到了模型的均值和方差的表达式.在混合模型的参数估计中,我们首先采用近似模型替换的想法,用ARMA(1,0)模型替换ARFIMA(1,d,0)模型,则原混合AR-ARFIMA模型简化为混合AR模型(MAR

11、模型).应用EM算法估计出混合模型自回归部分的参数,然后用聚合方差法来估计出Hurst指数(H),根据Hurst指数与参数d的代数关系,间接估计原混合模型中的参数d.最后用R软件对混合模型的参数进行估计,结果表明我们提出的估计方法对于该混合模型是可行的.关键词:长记忆性,ARFIMA模型,EM算法,平稳性,Hurst指数iiAbstractOneofthemostdistinguishedfeaturesoffinancialdataisitspropertyoflongmemory,whichmeanstha

12、tthedatasequenceissignificantlyautocorrelatedeventhetimeintervalislargeenough.Wechoosemodelspossessingthepropertyoflongmemorytodescribethisphenomenon.However,itisgraduallyunreasonabletomerelymodellingtheaspectoflongmemoryasthefinancialdatadevelop.Intheactuals

13、ituation,evenaneconomicalprocessgenerallyshowsthepropertyoflongmemoryforthelongterm,itstillpossessthefeatureofshortmemorywhenweconsideritinashorttermsense,thisiswhywecannolongercountonthelongmemorymodel.Withthisinmind,wecomeupwiththismixturemodelwhichposses

14、sesthepropertyoflongmemoryaswellasthequalityofshortmemory.Herewesayatimeseriespossessesthepropertyoflongmemoryifitsautocorrelationfunctiondecayshyperbolically.Andatimeseriesiscalledashort-memorymodelwh