分数阶波方程的数值解法.pdf

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1、2015年6月应用计笄数学学报第29卷第2期June2015CommunicationonAppliedMathematicsandComputationVol_29No．2DOI10．3969／j．issn．1006—6330．2015．02．006分数阶波方程的数值解法王芳芳，陈安(上海大学理学院，上海200444)摘要首先，把分数阶波方程转换成等价的积分一微分方程；然后，利用带权的分数阶矩形公式和紧差分算子分别对时间和空间方向进行离散．证明了当权重为时，时间方向的收敛阶为，其中(1

2、导数的阶数．利用Gronwall不等式，汪明了数值格式的收敛性和稳定性．数值例子进一步表明了数值格式的有效性．关键词分数阶波方程；带权的分数阶矩形公式；紧差分算子；Gronwai1不等式2010数学分类号65M06；65M12中图分类号O175．26文献标志码A文章编号1006—6330(2015)02—0171—16NumericalsolutionforfractionalwaveequationWANGFangfang，CHENAn(CollegeofSciences，ShanghaiUniversity，

3、Shanghai200444，China)AbstractThefractionalwaveequationisfirstlytransformedintoanequivalentintegro—diferentialequation．thentheweightedfractionalrectangularformulaandthecompactditierenceschemeareusedtoapproximatethetimederivativeandthespacederivative，respective

4、ly．Itisprovedthattheconvergentorderintimedirectionis，whentheweightisi1，where(1<<2)istheorderoftheCaputoderivative．ThenumericalstabilityandtheerrorestimatearepresentedbyGronwall’Sinequality．Numericalexamplesareprovidedtodemonstratetheeficiencyofthederivedschem

5、e．Keywordsfractionalwaveequation；weightedfractionalrectangularformu1a：compactdiferenceoperator；Gronwall’Sinequality2010MathematicsSubjectClassification65M06：65M12ChineseLibraryClassificationO175．260引言近几十年，分数阶微积分受到越来越多的关注．由于它比经典微积分更能准确地刻画现实中的复杂模型，因而被广泛应用于科学与工程

6、的各个领域，比如粘弹性力学fll、收稿日期2014—12一O5；修订日期2015—03．15基金项目国家自然科学基金资助项目(11372170)；上海市教育委员会科研创新基金资助项目(12ZZ084)通信作者陈安，研究方向为分数阶微分方程数值解．E—mail：ang-chen@163．corn第29卷水文地理学[、系统控制【。】等．由于分数阶微分算子的非局部性再加上实际问题的非线性特点，导致一些求解分数阶微分方程的解析方法很难进行，所以数值方法就显得更为重要f]．本文主要研究分数阶波方程的数值算法．分数阶波方程也

7、称为分数阶超扩散方程，是通过用OL阶的分数阶导数代替经典扩散方程中的一阶时间导数获得，其中∈(1，2)．对于分数阶波方程的数值解法，已经有一些研究结果[8-11]：文献『91对时间方向导数使用有限差分方法，在空间方向上采用有限元方法，并对半离散和全离散数值格式进行了分析．文献『11]通过使用二阶的Lubich分数阶线性多步法对分数阶波方程进行了数值求解，并验证了数值格式的可解性、收敛性和稳定性．在本文中，首先利用Caputo分数阶导数与Riemann—Liouville分数阶积分之间的关系，将波方程变为与之等价的

8、积分一微分方程．在此基础上，对时间方向提出了一种带权的分数阶矩形公式，并证明了当权重为告时，时间方向的误差阶为OL．同时，对空间方向采用紧差分算子，最终得到收敛阶为0(丁+h)的数值格式．首先给出本文所需要的两个主要定义．定义1函数f(t)的Caputo分数阶导数的定义为1，tcDoat,)／n(—sF-~-I，(n’(s)ds，>0，礼一<≤n，n∈z+·定义2函数f(